Questão 177 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (área da seção transversal de semicilindros — dois projetos)
- ⚡ Nível: Médio — calcular área de seção de semicírculo para cada projeto e comparar, usando π = 3
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria Espacial; área de seção transversal; EM13MAT502
- 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual projeto (1 ou 2) tem a menor área de seção transversal total, considerando seus respectivos semicilindros?"
- Palavras-chave decisivas: menor área da seção transversal, semicilindro reto, dois projetos, π = 3
- Armadilha típica: Somar as áreas dos dois semicírculos do Projeto 1 como se fossem independentes sem a relação correta dos raios
- O que a resposta precisa demonstrar: Calcular a soma das áreas das seções transversais de cada projeto e comparar
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Área do semicírculo: A = πr²/2
- Projeto 1: dois semicilindros separados (bicicleta + automóvel); Projeto 2: um único semicilindro
- Relação entre raios: Os raios dos projetos são dados na figura
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: Projeto 1 tem dois túneis semicirculares: um para bicicletas (raio r₁) e outro para automóveis (raio r₂), conforme a figura
- Evidência 2: Projeto 2 tem um único túnel semicircular de raio R, com espaço para ambos os veículos
- Síntese: Calcular A₁ = π(r₁² + r₂²)/2 e A₂ = πR²/2 e verificar qual é menor
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Ler os raios da figura
Conforme a figura apresentada:
- Projeto 1: semicilindro para bicicletas com raio 3 m; semicilindro para automóveis com raio 6 m
- Projeto 2: semicilindro único com raio 9 m
Subpasso 4.2 — Calcular a área do Projeto 1
A₁ = π × 3²/2 + π × 6²/2 = 3 × 9/2 + 3 × 36/2 = 13,5 + 54 = 67,5 m²
Subpasso 4.3 — Calcular a área do Projeto 2
A₂ = π × 9²/2 = 3 × 81/2 = 243/2 = 121,5 m²
Subpasso 4.4 — Comparar
67,5 m² (Projeto 1) < 121,5 m² (Projeto 2)
O Projeto 1 tem menor área de seção transversal.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m². ✅ Correta: 67,5 m² < 121,5 m² — o Projeto 1 remove menos material da montanha.
B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m². ❌ Incorreta: 121,5 m² é maior que 67,5 m², então o Projeto 2 remove MAIS material, não menos.
C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m². ❌ Incorreta: O valor de 135 m² está incorreto para o Projeto 1.
D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m². ❌ Incorreta: 243 m² seria o dobro do valor correto (usando o círculo inteiro em vez do semicírculo).
E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas iguais. ❌ Incorreta: As áreas são 67,5 m² e 121,5 m² — claramente diferentes.
🏆 Gabarito: A — O Projeto 1 tem a menor área de seção transversal (67,5 m² < 121,5 m²), removendo menos material da montanha.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: A é o único que apresenta o projeto correto (1) com o valor correto (67,5 m²).
- Padrão de cobrança: Comparação de volumes de engenharia com π dado é frequente — sempre lembre que dois semicilindros menores removem menos material que um grande.
- Generalização: A soma de áreas de semicírculos com raios r₁ e r₂ é π(r₁² + r₂²)/2, que é menor que π(r₁ + r₂)²/2 (um único semicílindro de raio r₁ + r₂).
- Dica de eliminação rápida: Dois semicírculos menores vs. um grande — intuitivamente, dividir em partes menores usa menos material. Confirme calculando: 67,5 vs. 121,5. A tem o menor valor e o projeto correto.
- Conexões com outros temas: Área do círculo; semicírculo; geometria espacial; otimização.