Questão 176 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 . log [-K . (t+1) . (t-19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (equações logarítmicas) + Funções (vértice de parábola; máximo de função quadrática) + Inequações
- ⚡ Nível: Difícil — exige identificar que o pico de pressão ocorre em t = 9 (vértice da parábola), não em t = 10; candidatos que testam apenas o ponto final erram
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Modelagem com função logarítmica; otimização via vértice de parábola; condição de segurança em intervalo contínuo
- 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Para todo t ∈ [0,10], P(t) ≤ 10 atm. Qual é o maior K que satisfaz essa condição?"
- Palavras-chave decisivas: não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento, maior valor possível de K, período contínuo de 10 horas
- Armadilha típica: Substituir apenas t = 10 — o pico de pressão ocorre em t = 9 (vértice da parábola interna), e usar t = 10 leva a um K maior que o seguro
- O que a resposta precisa demonstrar: Encontrar o t que maximiza P(t) em [0,10], impor P(t_max) = 10 e resolver para K → K = 10^0,5
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Logaritmo crescente: log é crescente → P(t) é máxima quando o argumento K·Q(t) é máximo → basta maximizar Q(t)
- Vértice de parábola côncava: Q(t) = −t² + 18t + 19 tem máximo em t_v = −b/(2a) = −18/(−2) = 9
- Equação logarítmica: 4·log(100K) = 10 → log(100K) = 2,5 → 100K = 10^2,5 → K = 10^0,5
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento" → P(t) ≤ 10 para todo t ∈ [0,10], não apenas em t = 10
- Evidência 2: P = 4·log[−K·(t+1)·(t−19)]; com K > 0 e t ∈ [0,10]: (t+1) > 0 e (t−19) < 0 → argumento = K·(−t²+18t+19) = K·Q(t) > 0 ✓
- Evidência 3: Como log é crescente, P é máxima quando Q(t) é máxima → encontrar vértice de Q(t) = −t² + 18t + 19
- Síntese: Q(t) máximo em t = 9 com Q(9) = 100; impor P(9) = 10 → K = 10^0,5
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Reescrever o argumento do logaritmo Com K > 0 e t ∈ [0,10]: (t+1) > 0 e (t−19) < 0 Logo: −K·(t+1)·(t−19) = K·(t+1)·(19−t) = K·Q(t), com Q(t) = −t² + 18t + 19
Subpasso 4.2 — Encontrar o máximo de Q(t) em [0,10] Q(t) é parábola côncava (coeficiente de t² = −1 < 0). Vértice: t_v = −18 / (2·(−1)) = 9 ∈ [0,10] ✓ Q(9) = −81 + 162 + 19 = 100 A pressão máxima ocorre em t = 9, não em t = 10.
Subpasso 4.3 — Impor a condição de segurança no pico P_max = P(9) = 4·log(K·100) ≤ 10 log(100K) ≤ 2,5 100K ≤ 10^2,5 K ≤ 10^2,5 / 10^2 = 10^0,5
Subpasso 4.4 — Concluir O maior valor possível de K que garante P(t) ≤ 10 atm para todo t ∈ [0,10] é K = 10^0,5 (= √10 ≈ 3,16).
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) ✅ Correta: K = 10^0,5. Resultado do método completo: máximo de Q(t) em t = 9 com Q(9) = 100; 4·log(100K) = 10 → K = 10^0,5. Garante P(t) ≤ 10 para todo t ∈ [0,10].
B) ❌ Incorreta: Resulta de erro de cálculo — possivelmente usando t_v errado ou manipulando o logaritmo incorretamente, chegando a um valor diferente de 10^0,5.
C) ❌ Incorreta: Resulta de usar t = 10 como ponto de verificação: Q(10) = −100 + 180 + 19 = 99 → K = 10^2,5/99. Esta estratégia ignora que o pico ocorre em t = 9. Com este K, P(9) > 10 atm — violando a recomendação "durante o funcionamento".
D) ❌ Incorreta: Outro resultado de abordagem incorreta — talvez confundindo o vértice com a fronteira do intervalo ou errando a substituição em Q(t).
E) ❌ Incorreta: Erro algébrico na manipulação da equação logarítmica ou no cálculo da potência de 10, resultando em K incompatível com as condições.
🏆 Gabarito: A — K = 10^0,5, pois o pico de pressão ocorre em t = 9 (vértice de Q(t)), onde Q(9) = 100; impondo 4·log(100K) = 10 obtém-se K = 10^0,5.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: A é correto: t_v = 9, Q(9) = 100, 4·log(100K) = 10 → K = 10^2,5/100 = 10^0,5. Usar t = 10 (Q = 99) é a armadilha
- Padrão de cobrança: Otimização com logaritmo + quadrática é questão-teto do ENEM; sempre verificar se o máximo da função interna está no intervalo antes de aplicar a condição de segurança
- Generalização: P(t) = a·log[K·Q(t)] é máxima quando Q(t) é máxima. Encontre t_v = −b/(2a), verifique se está no domínio, calcule Q(t_v) e imponha P = limite → resolve para K
- Dica de eliminação rápida: Q(9) = 10·10 = 100 (fácil de calcular). Q(10) = 11·9 = 99. Como 100 > 99, o pico é em t = 9 — qualquer alternativa que use 99 está usando o ponto errado
- Conexões com outros temas: Função logarítmica crescente; vértice de parábola; inequações logarítmicas; modelagem de processos industriais