Questão 175 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.
A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana e Espacial (torta circular inscrita em caixa quadrada com restrições)
- ⚡ Nível: Médio — identificar a maior torta (maior raio) e calcular a aresta mínima da caixa quadrada com a folga exigida
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria Plana; razão; EM13MAT501
- 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Quantos cm a mais do que 14 cm deve ter a aresta da nova caixa para acomodar qualquer torta (raio até 16 cm) com pelo menos 1 cm de folga em todos os lados?"
- Palavras-chave decisivas: raio variando entre 12 e 16 cm, pelo menos 1 cm de distância, aresta da base maior, quantos cm maior que as originais
- Armadilha típica: Usar o raio mínimo (12 cm) em vez do raio máximo (16 cm); ou esquecer que a folga é de 1 cm de cada lado
- O que a resposta precisa demonstrar: Aresta mínima para a maior torta: 2 × (16 + 1) = 34 cm; diferença: 34 − 14 = 20 cm
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Torta inscrita na caixa: O diâmetro da torta deve caber dentro da aresta da caixa com folga de pelo menos 1 cm de cada lado
- Aresta mínima: 2r + 2 × 1 cm = diâmetro + 2 cm de folga total
- Pior caso: Usar a torta de maior raio (16 cm) para dimensionar a caixa universal
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "raio variando entre 12 e 16 cm" → o maior raio possível é 16 cm
- Evidência 2: "pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies laterais internas" → folga mínima de 1 cm de cada lado
- Síntese: Aresta mínima = 2 × 16 + 2 × 1 = 32 + 2 = 34 cm; diferença = 34 − 14 = 20 cm
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar a torta de maior raio
Para acomodar TODOS os tipos de torta, a caixa deve comportar a maior: r = 16 cm.
Subpasso 4.2 — Calcular a aresta mínima da nova caixa
A torta de raio 16 cm tem diâmetro = 32 cm.
Com folga mínima de 1 cm de cada lado lateral:
Aresta mínima = diâmetro + 2 × 1 cm = 32 + 2 = 34 cm
Subpasso 4.3 — Calcular a diferença em relação à caixa original
Aresta original = 14 cm Diferença = 34 − 14 = 20 cm
Subpasso 4.4 — Verificação
Com caixa de 34 cm × 34 cm e torta de raio 16 cm (diâmetro 32 cm):
- Folga de cada lado = (34 − 32)/2 = 1 cm ✓ (exatamente o mínimo)
Para torta de raio 12 cm (menor): folga = (34 − 24)/2 = 5 cm > 1 cm ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 4 ❌ Incorreta: Daria aresta de 18 cm, suficiente apenas para torta de raio 8 cm com 1 cm de folga.
B) 12 ❌ Incorreta: Aresta de 26 cm; comportaria torta de raio máximo de 12 cm — insuficiente para r = 16 cm.
C) 16 ❌ Incorreta: Aresta de 30 cm; para torta de r = 16: folga = (30 − 32)/2 = −1 < 0. A torta não cabe.
D) 18 ❌ Incorreta: Aresta de 32 cm; folga = (32 − 32)/2 = 0 cm. Não satisfaz o mínimo de 1 cm de distância.
E) 20 ✅ Correta: Aresta de 34 cm; folga = (34 − 32)/2 = 1 cm ≥ 1 cm. Atende ao critério.
🏆 Gabarito: E — A aresta deve ser 20 cm maior que a original (14 cm), totalizando 34 cm, para garantir 1 cm de folga com a maior torta possível (r = 16 cm).
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: 2 × 16 + 2 × 1 = 34 cm; 34 − 14 = 20 cm. Apenas E satisfaz.
- Padrão de cobrança: Problemas de embalagem com folga mínima aparecem no ENEM — use sempre o caso extremo (maior objeto).
- Generalização: Aresta mínima = 2 × raio máximo + 2 × folga mínima.
- Dica de eliminação rápida: A torta maior tem r = 16, diâmetro = 32. Mais 1 cm de cada lado = 34 cm de aresta. 34 − 14 = 20. Imediato. Elimine A, B e C por resultarem em aresta menor que 34 cm.
- Conexões com outros temas: Círculo e quadrado; embalagem; geometria plana aplicada.