Questão 171 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.
O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:
o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.
Ao final da rodada n, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões e Álgebra (sequências aritméticas com balanço de moedas por rodada)
- ⚡ Nível: Médio — exige calcular o saldo líquido do jogador 1 por rodada e escrever como função de n
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Progressões; sequências e funções; EM13MAT404
- 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é a expressão algébrica do número de moedas do jogador na posição 1 após n rodadas?"
- Palavras-chave decisivas: posição 1, ao final da rodada n, transfere 1 para o 2, recebe 4 do 4
- Armadilha típica: Confundir o que o jogador 1 dá com o que recebe, invertendo o balanço
- O que a resposta precisa demonstrar: Saldo líquido por rodada = +4 (recebe do 4) − 1 (dá ao 2) = +3; após n rodadas: 100 + 3n
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Balanço por rodada: entrada − saída por rodada para o jogador 1
- Progressão aritmética: saldo aumenta em 3 por rodada → função linear em n
- Valor inicial: 100 moedas (antes de qualquer rodada)
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "jogador posição 1 transfere 1 moeda para posição 2" → saída: −1 moeda por rodada
- Evidência 2: "jogador posição 4 transfere 4 moedas para posição 1" → entrada: +4 moedas por rodada
- Síntese: Saldo líquido por rodada = +4 − 1 = +3 moedas. Após n rodadas: 100 + 3n
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar o balanço do jogador 1 por rodada
Em cada rodada:
- Transfere 1 moeda para o jogador 2 → perde 1 moeda
- Recebe 4 moedas do jogador 4 → ganha 4 moedas
Variação líquida por rodada = +4 − 1 = +3 moedas
Subpasso 4.2 — Verificar com as rodadas iniciais
- Início: 100 moedas
- Após rodada 1: 100 + 3 = 103 moedas
- Após rodada 2: 100 + 6 = 106 moedas
- Após rodada n: 100 + 3n
Subpasso 4.3 — Verificação
A sequência é 100, 103, 106, 109, ... → progressão aritmética com a₁ = 100 e r = 3.
Termo geral: aₙ = 100 + 3(n − 1)... ou contando as rodadas: M(n) = 100 + 3n ✓ (onde n é o número de rodadas completas)
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 103 + 4n ❌ Incorreta: Usa 103 (valor após a 1ª rodada) como base e 4 como variação — ambos incorretos.
B) 103 + 3n ❌ Incorreta: O valor inicial deveria ser 100 (antes de qualquer rodada), não 103.
C) 100 + 4n ❌ Incorreta: O valor inicial está correto (100), mas a variação por rodada é +3, não +4.
D) 100 + 3n ✅ Correta: Valor inicial 100 moedas + variação de 3 por rodada × n rodadas.
E) 99 + 4n ❌ Incorreta: Ambos os parâmetros estão errados — 99 como base e 4 como variação.
🏆 Gabarito: D — M(n) = 100 + 3n, pois o jogador 1 ganha 3 moedas líquidas por rodada a partir de 100.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: D é a única expressão com valor inicial 100 e variação +3 por rodada.
- Padrão de cobrança: Questões de jogo/sequência com balanço por etapa aparecem com frequência — identifique entrada e saída por rodada.
- Generalização: Para qualquer sequência com variação constante r a partir de valor inicial a: M(n) = a + r × n.
- Dica de eliminação rápida: Calcule o saldo líquido: +4 − 1 = +3. Elimine C e E (variação 4). Elimine A e B (não começam em 100). Resta D.
- Conexões com outros temas: Progressão aritmética; função afim; modelagem matemática.