Questão 169 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (espaço amostral; evento complementar) + Combinatória (contagem sistemática por casos)
• ⚡ Nível: Difícil — exige estratégia de complemento e contagem sistemática por 6 casos; calcular diretamente as vitórias de Artur seria um labirinto
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Probabilidade de eventos compostos; estratégia do complementar; contagem sistemática
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quem tem maior probabilidade de vencer e qual é essa probabilidade? (João ganha se seu dado ≥ maior dado de Artur; empate é vitória de João)"
• Palavras-chave decisivas: empate é vitória de João, maior dos dois dados de Artur, probabilidade de vitória
• Armadilha típica: Calcular diretamente as vitórias de Artur (muitos subcasos) — o caminho eficiente é calcular as vitórias de João (condição mais simples) e usar o complemento
• O que a resposta precisa demonstrar: Total = 216 resultados; vitórias de João = 91; vitórias de Artur = 125 → P(Artur) = 125/216

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Espaço amostral: 3 dados independentes de 6 faces → 6³ = 216 resultados igualmente prováveis
• Evento complementar: P(Artur vence) = 1 − P(João vence) → Vitórias de Artur = 216 − Vitórias de João
• Contagem sistemática: Para João vencer com resultado J, os dois dados de Artur devem ser ≤ J → cada dado de Artur tem J opções → J² combinações para Artur, para cada valor de J

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "João vence se seu número for maior ou igual ao maior número obtido por Artur" → João ganha quando J ≥ max(A1, A2), i.e., J ≥ A1 E J ≥ A2
• Evidência 2: "em caso de empate a vitória é de João" → a condição J ≥ A1 E J ≥ A2 já inclui empates (≥ não só >)
• Evidência 3: Dois jogadores, sem sorteio adicional → ou João vence, ou Artur vence; sem empate residual
• Síntese: Contar vitórias de João para cada valor J = 1 a 6: J² combinações para Artur. Somar e subtrair de 216.

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Espaço amostral 3 dados independentes, 6 faces cada: Total = 6 × 6 × 6 = 216 resultados

Subpasso 4.2 — Contar vitórias de João por caso João vence quando J ≥ A1 e J ≥ A2. Para cada valor J de 1 a 6, cada dado de Artur tem J opções (1 a J):

• J = 1: 1² = 1 combinação
• J = 2: 2² = 4 combinações
• J = 3: 3² = 9 combinações
• J = 4: 4² = 16 combinações
• J = 5: 5² = 25 combinações
• J = 6: 6² = 36 combinações

Total de vitórias de João = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

Subpasso 4.3 — Aplicar o complemento Vitórias de Artur = 216 − 91 = 125

Subpasso 4.4 — Calcular as probabilidades P(João vence) = 91/216 ≈ 0,42 P(Artur vence) = 125/216 ≈ 0,58 Artur tem maior probabilidade de vitória.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Artur, com probabilidade 2/3 ❌ Incorreta: 2/3 = 144/216 ≠ 125/216. Resultado de uma estimativa intuitiva ("Artur tem dois dados, então vence mais") sem cálculo rigoroso.

B) João, com probabilidade 4/9 ❌ Incorreta: 4/9 = 96/216 ≠ 91/216. Além do valor errado, erra o vencedor — João tem apenas 91/216 ≈ 42%, menos que Artur.

C) Artur, com probabilidade 91/216 ❌ Incorreta: 91/216 é a probabilidade de JOÃO vencer, não de Artur. Erro clássico de inverter o resultado do complemento: calculou corretamente as vitórias de João mas as atribuiu a Artur.

D) João, com probabilidade 91/216 ❌ Incorreta: O valor 91/216 para João está correto, mas a conclusão está errada — 91 < 125, portanto João tem menor probabilidade que Artur e NÃO é o vencedor mais provável.

E) Artur, com probabilidade 125/216 ✅ Correta: 216 − 91 = 125. Artur vence em 125 dos 216 resultados possíveis, com P = 125/216 ≈ 58%. Resultado exato da estratégia do complemento.

🏆 Gabarito: E — Artur vence com probabilidade 125/216, calculada por complemento: 216 − 91 (vitórias de João) = 125.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é correto: espaço amostral = 216, vitórias de João = Σ J² (J=1 a 6) = 91, vitórias de Artur = 216 − 91 = 125, P = 125/216
• Padrão de cobrança: Jogos de dados com regras assimétricas são contexto frequente em probabilidade no ENEM; a estratégia do complemento é quase sempre mais eficiente quando a condição de "não vitória" é mais simples
• Generalização: Quando P(evento direto) é difícil de calcular, use P(evento) = 1 − P(complemento). A condição complementar mais simples neste caso: João ganha quando TODOS os dados de Artur são ≤ J (condição "e", não "ou")
• Dica de eliminação rápida: Calcule apenas 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91 (soma dos quadrados de 1 a 6). Se 91 < 216/2 = 108, João perde → Artur vence. Elimine todas as alternativas com "João vence" e as que mostram 91/216 para Artur
• Conexões com outros temas: Probabilidade condicional; regra do complemento; distribuições discretas; combinatória e análise de jogos