Questão 168 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de cilindro menos prisma quadrangular — 100 medalhas)
• ⚡ Nível: Médio — calcular o volume do cilindro, subtrair o prisma e multiplicar por 100
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria Espacial; volume de sólidos; EM13MAT502
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o volume total de ouro para 100 medalhas cilíndricas de 6 cm de diâmetro e 3 mm de espessura, com um prisma quadrangular (quadrado ABCD) removido do centro?"
• Palavras-chave decisivas: região externa ao prisma, cilindro, 100 medalhas, π ≈ 3,1
• Armadilha típica: Esquecer de converter 3 mm para cm, ou usar o raio (3 cm) em vez do diâmetro
• O que a resposta precisa demonstrar: V_ouro = (V_cilindro − V_prisma) × 100

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro: V = π × r² × h; r = diâmetro/2 = 3 cm; h = 3 mm = 0,3 cm
• Volume do prisma quadrangular: V = lado² × h; o quadrado ABCD é inscrito no círculo de base
• Quadrado inscrito no círculo: A diagonal do quadrado = diâmetro; lado = diâmetro / √2 = 6/√2 ≈ 4,24 cm; mas a questão fornece o quadrado ABCD diretamente na figura

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cilindro circular reto, diâmetro 6 cm, espessura 3 mm" → r = 3 cm, h = 0,3 cm
• Evidência 2: "ABCD tem forma de quadrado... base do prisma que atravessa toda a medalha" → o prisma tem a mesma altura h que o cilindro
• Síntese: V_ouro = (V_cil − V_pris) × 100; o quadrado ABCD inscrito no círculo tem diagonal = 6 cm, logo lado = 3√2 cm

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o volume do cilindro

r = 3 cm, h = 3 mm = 0,3 cm, π ≈ 3,1

V_cil = π × r² × h = 3,1 × 9 × 0,3 = 3,1 × 2,7 = 8,37 cm³

Subpasso 4.2 — Calcular o volume do prisma quadrangular

O quadrado ABCD está inscrito no círculo de raio 3 cm. A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro = 6 cm.

Lado do quadrado: diagonal = lado × √2 → lado = 6/√2 = 3√2 cm

Área da base = lado² = (3√2)² = 18 cm²

V_pris = área × h = 18 × 0,3 = 5,4 cm³

Subpasso 4.3 — Calcular o volume de ouro por medalha

V_ouro_1 = V_cil − V_pris = 8,37 − 5,4 = 2,97 cm³

Subpasso 4.4 — Calcular o volume total para 100 medalhas

V_total = 2,97 × 100 = 297 cm³

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 288 ❌ Incorreta: Resultado possível ao usar π = 3 em vez de 3,1; 3 × 9 × 0,3 = 8,1; 8,1 − 5,4 = 2,7; 2,7 × 100 = 270. Também não dá 288 — possível outra distorção.

B) 297 ✅ Correta: 2,97 cm³ por medalha × 100 = 297 cm³.

C) 567 ❌ Incorreta: Seria o volume total do cilindro sem subtrair o prisma: 8,37 × ... outra conta incorreta.

D) 990 ❌ Incorreta: Erro de cálculo grave; possivelmente usa espessura em mm em vez de cm.

E) 1 134 ❌ Incorreta: Volume do cilindro sem subtrair o prisma com outro erro de medida.

🏆 Gabarito: B — 297 cm³ é o volume total de ouro para 100 medalhas, resultado de 2,97 cm³ × 100.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: V_cil = 8,37 cm³, V_pris = 5,4 cm³, V_ouro = 2,97 × 100 = 297 cm³.
• Padrão de cobrança: Volumes compostos (sólido − cavidade) são frequentes no ENEM, sempre com conversão de unidades.
• Generalização: Para qualquer sólido com cavidade: V_material = V_externo − V_cavidade. Sempre converta unidades antes de calcular.
• Dica de eliminação rápida: A espessura é 3 mm = 0,3 cm — qualquer alternativa que use 3 cm de espessura dá resultado 10× maior. Elimine D e E por valores excessivos.
• Conexões com outros temas: Quadrado inscrito em círculo; diagonal do quadrado; área e volume.