Questão 162 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Combinatória (arranjo com restrição — no máximo um por casal)
• ⚡ Nível: Difícil — requer raciocinar sobre a restrição de no máximo um membro por casal para os 3 cargos distintos
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Combinatória; princípio fundamental da contagem; EM13MAT405
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 membros (para presidente, secretário e tesoureiro) dentre 10 casais, sendo no máximo um por casal?"
• Palavras-chave decisivas: no máximo uma pessoa por casal, 3 cargos distintos, 10 casais
• Armadilha típica: Esquecer a restrição de casais e calcular apenas A(20,3) = 20 × 19 × 18
• O que a resposta precisa demonstrar: Para cada cargo, considerar que o casal do membro já escolhido não pode ocupar o próximo cargo

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio fundamental da contagem: Multiplicar as escolhas independentes a cada etapa
• Restrição de casal: Se uma pessoa de um casal é escolhida, a outra fica automaticamente excluída das vagas seguintes
• Cargos distintos: A ordem importa — presidente ≠ secretário ≠ tesoureiro

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "10 casais" → 20 pessoas no total, 2 por casal
• Evidência 2: "no máximo uma pessoa por casal" → ao escolher alguém, o cônjuge é excluído
• Síntese: Escolha de 3 cargos distintos com a restrição aplicada a cada etapa

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar as escolhas para o cargo de presidente

Total de candidatos = 20 pessoas (10 casais × 2). Qualquer dos 20 pode ser presidente.

Escolhas para presidente: 20

Subpasso 4.2 — Contar as escolhas para o cargo de secretário

Após escolher o presidente, seu cônjuge é excluído. Restam:

• 20 − 1 (presidente) − 1 (cônjuge) = 18 pessoas disponíveis para secretário

Subpasso 4.3 — Contar as escolhas para o cargo de tesoureiro

Após escolher secretário, o cônjuge do secretário é excluído. Restam:

• 18 − 1 (secretário) − 1 (cônjuge do secretário) = 16 pessoas disponíveis para tesoureiro

Subpasso 4.4 — Calcular o total

Total = 20 × 18 × 16

Subpasso 4.5 — Verificação

20 × 18 = 360; 360 × 16 = 5 760. A alternativa B confirma: 20 × 18 × 16.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10 × 9 × 8 ❌ Incorreta: Esta conta seria correta se escolhêssemos apenas casais (não indivíduos), desconsiderando qual membro do casal ocupa o cargo.

B) 20 × 18 × 16 ✅ Correta: 20 candidatos para presidente, 18 para secretário (excluindo presidente e seu cônjuge), 16 para tesoureiro (excluindo mais um casal).

C) 20 × 19 × 18 ❌ Incorreta: Seria A(20,3), sem aplicar a restrição de casais — ignora que o cônjuge deve ser excluído.

D) 10 × 9 × 8 × 2 ❌ Incorreta: Multiplica o número de casais por 2, mas o fator de 2 está aplicado incorretamente.

E) 20 × 18 × 16 × 2 ❌ Incorreta: O fator extra de 2 não tem justificativa no problema — os cargos já são distintos.

🏆 Gabarito: B — 20 × 18 × 16 = 5 760 diretorias distintas, aplicando corretamente a restrição de no máximo um membro por casal a cada etapa.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A cada cargo escolhido, o cônjuge sai do pool. De 20 para 18 para 16 — único cálculo correto é B.
• Padrão de cobrança: Combinatória com restrição é frequente no ENEM — identifique quantos candidatos ficam disponíveis em cada etapa.
• Generalização: Ao ter grupos com pares excluídos mutuamente, subtraia 2 a cada escolha (o escolhido + o excluído).
• Dica de eliminação rápida: Elimine C (sem restrição de casais). Elimine A e D (tratam casais como unidades, não indivíduos). Elimine E (fator extra injustificado). Resta B.
• Conexões com outros temas: Fatorial; permutações com restrição; arranjos simples.