Questão 161 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Álgebra e Porcentagem (custo de produção com redução percentual)
• ⚡ Nível: Médio — exige calcular os custos atuais, encontrar o custo total e determinar a quantidade mínima de reciclagem
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra; porcentagem; EM13MAT302
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a quantidade mínima de toneladas produzidas por reciclagem para que a empresa reduza em 50% seu custo total, mantendo a produção de 190 toneladas?"
• Palavras-chave decisivas: redução de 50% no custo, mesma quantidade total, reciclagem vs. derivados
• Armadilha típica: Não perceber que o custo de reciclagem é 5% do custo de derivados de petróleo
• O que a resposta precisa demonstrar: Calcular o custo total atual, determinar o custo máximo permitido (50% do atual) e encontrar quantas toneladas por reciclagem minimizam o custo

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Custo por reciclagem: R$ 500,00/tonelada
• Custo por derivados: R$ 500 = 5% do custo por derivados → custo por derivados = R$ 10 000/tonelada
• Custo total: (toneladas recicladas × 500) + (toneladas de derivados × 10 000)

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "reciclar 1 tonelada custa R$ 500 = 5% do custo de produzir 1 tonelada de derivados" → custo por derivados = R$ 10 000/t
• Evidência 2: Produção atual: 110 t de derivados + 80 t de reciclagem = 190 t total
• Síntese: Calcular custo atual e encontrar x (toneladas de reciclagem) tal que novo custo ≤ 50% do atual

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o custo atual

• Custo de 110 t por derivados: 110 × R$ 10 000 = R$ 1 100 000
• Custo de 80 t por reciclagem: 80 × R$ 500 = R$ 40 000
• Custo total atual = R$ 1 140 000

Subpasso 4.2 — Determinar o custo máximo para 2025

Redução de pelo menos 50%: novo custo ≤ 50% × R$ 1 140 000 = R$ 570 000

Subpasso 4.3 — Montar a equação para o mês seguinte

No próximo mês, produção total = 190 t. Se x = toneladas por reciclagem e (190 − x) = toneladas por derivados:

Novo custo = 500x + 10 000(190 − x) = 500x + 1 900 000 − 10 000x = 1 900 000 − 9 500x

Condição: 1 900 000 − 9 500x ≤ 570 000

9 500x ≥ 1 900 000 − 570 000 = 1 330 000

x ≥ 1 330 000 / 9 500 = 140

Subpasso 4.4 — Verificação

Com x = 140 t: custo = 1 900 000 − 9 500 × 140 = 1 900 000 − 1 330 000 = 570 000 = 50% do custo atual ✓

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 135. ❌ Incorreta: 135 t de reciclagem: custo = 1 900 000 − 9 500 × 135 = 1 900 000 − 1 282 500 = 617 500 > 570 000. Não atinge a redução de 50%.

B) 140. ✅ Correta: 140 t de reciclagem resulta em custo exatamente R$ 570 000 = 50% de R$ 1 140 000.

C) 155. ❌ Incorreta: Satisfaz o critério mas não é o mínimo (140 já é suficiente).

D) 160. ❌ Incorreta: Também satisfaz, mas não é o mínimo.

E) 175. ❌ Incorreta: Excessivo; a empresa atingiria redução maior que 50%, mas o pedido era a quantidade mínima.

🏆 Gabarito: B — 140 toneladas por reciclagem é a quantidade mínima que reduz o custo em exatamente 50%.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: Com x = 140, o custo cai para R$ 570 000 = exatamente 50% de R$ 1 140 000. Menos que 140 não atinge a meta.
• Padrão de cobrança: Problemas de custo com substituição de insumo aparecem no ENEM — identificar os custos unitários e montar equação de inigualdade.
• Generalização: Para minimizar x, escreva o custo como função de x, imponha a condição de redução e resolva para x.
• Dica de eliminação rápida: O custo de derivados (R$ 10 000/t) é 20 vezes maior que o de reciclagem (R$ 500/t). Trocar 1 t de derivados por reciclagem economiza R$ 9 500. Necessário economizar R$ 570 000: 570 000 / 9 500 = 60 t a mais que as 80 já recicladas = 140 t.
• Conexões com outros temas: Inequações do 1º grau; custos marginais; otimização.