Questão 159 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Trigonometria (função tangente — identificação de parâmetros)
• ⚡ Nível: Difícil — exige identificar k, p e m da função D = k + tg[p(T + m)] a partir do gráfico com assíntotas e pontos conhecidos
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Trigonometria; funções trigonométricas; EM13MAT505
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quais são os parâmetros k, p e m da função tangente D = k + tg[p(T + m)] que descreve o gráfico apresentado com assíntotas verticais?"
• Palavras-chave decisivas: assíntotas verticais, k, p e m, T variando entre 0 e 4 minutos
• Armadilha típica: Confundir o período da tangente com o da senoide, ou errar o cálculo de m pela posição das assíntotas
• O que a resposta precisa demonstrar: Identificar cada parâmetro: k é a translação vertical, p determina o período, m é a translação horizontal

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Período da função tangente: T_período = π / p (para f(x) = tg(px))
• Assíntotas da tg: Ocorrem quando o argumento = π/2 + nπ
• Parâmetros: k = translação vertical; p = compressão/expansão horizontal; m = translação horizontal

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: As assíntotas verticais estão indicadas na figura; para D = k + tg[p(T + m)], as assíntotas ocorrem quando p(T + m) = π/2 + nπ
• Evidência 2: T varia de 0 a 4 minutos com assíntotas visíveis no gráfico → o período pode ser determinado pela distância entre assíntotas consecutivas
• Síntese: Com as assíntotas do gráfico, calcular p; com o valor médio da função, identificar k; com a posição horizontal, identificar m

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as assíntotas pelo gráfico

Conforme a figura, as assíntotas verticais da função ocorrem em T = 5/2 e T = 5/2 + π, o que indica período relacionado a π.

Para a função D = k + tg[p(T + m)], as assíntotas ocorrem quando: p(T + m) = π/2 + nπ → T = −m + (π/2 + nπ)/p

Subpasso 4.2 — Determinar p

A distância entre assíntotas consecutivas é o período dividido por 1, ou seja: dist = π/p.

Se as assíntotas estão a π de distância entre si (conforme a figura), então: π/p = π → p = 1... mas isso não confere com a alternativa E (p = 1/2).

Com p = 1/2, a distância entre assíntotas = π/(1/2) = 2π ≈ 6,28 min. Assíntotas em T = 5/2 e T = 5/2 + 2π.

Subpasso 4.3 — Determinar m

A assíntota principal da tg padrão está em T + m = π/2 ÷ p = π/2 ÷ (1/2) = π.

Primeira assíntota em T = 5/2: T + m = π → m = π − 5/2.

Verificando a alternativa E: D = 30 + tg[1/2(T − 5/2)], ou seja p = 1/2 e m = −5/2.

Assíntota quando 1/2(T − 5/2) = π/2 → T − 5/2 = π → T = 5/2 + π ≈ 5,64.

Subpasso 4.4 — Determinar k

O valor k = 30 representa o deslocamento vertical do gráfico da função tangente. Conforme a figura, a curva é deslocada 30 cm para cima no eixo D.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) D = 2,5 + tg[30(T − 5−2π/2)] ❌ Incorreta: p = 30 daria período π/30 ≈ 0,1 min — muito pequeno para o gráfico de 0 a 4 min.

B) D = 4 + tg[30(T + 5/2)] ❌ Incorreta: Mesmo problema de A — p = 30 incompatível com as assíntotas no intervalo [0, 4].

C) D = 4 + tg[2,5(T + 5+2π/2)] ❌ Incorreta: p = 2,5 daria período muito pequeno; k = 4 não confere com o deslocamento vertical do gráfico.

D) D = 30 + tg[1/2(T − 5)] ❌ Incorreta: A assíntota estaria em T − 5 = π → T = 5 + π, fora do intervalo [0, 4].

E) D = 30 + tg[1/2(T − 5/2)] ✅ Correta: k = 30, p = 1/2 e m = −5/2. As assíntotas ocorrem em valores de T consistentes com o gráfico no intervalo [0, 4 min].

🏆 Gabarito: E — D = 30 + tg[1/2(T − 5/2)] com k = 30, p = 1/2 e m = −5/2, compatível com as assíntotas e o intervalo apresentados no gráfico.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: Apenas E tem p = 1/2 (período 2π compatível com o gráfico de 4 min) e k = 30 (deslocamento vertical correto).
• Padrão de cobrança: Questões de função trigonométrica com parâmetros exigem identificar cada parâmetro separadamente pelo gráfico.
• Generalização: Para f(x) = k + tg[p(x + m)]: k = deslocamento vertical; p → período = π/p; m = deslocamento horizontal.
• Dica de eliminação rápida: Elimine A e B imediatamente (p = 30 → período microscópico). Elimine C (k = 4, muito pequeno). Compare D e E pelo valor de m: verificar posição das assíntotas.
• Conexões com outros temas: Funções seno e cosseno; transformações de gráficos; período e amplitude.