Questão 156 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Trigonometria (lei dos cossenos em navegação com bússola)
- ⚡ Nível: Difícil — exige interpretar direções de bússola, calcular ângulo entre os vetores de deslocamento e aplicar lei dos cossenos
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Trigonometria; lei dos cossenos; geometria vetorial; EM13MAT507
- 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é a direção e o tempo para ir do ponto T ao destino R, dado que ambas as rotas (planejada e executada) foram desenhadas com a bússola?"
- Palavras-chave decisivas: direção 110, direção 340, 4 horas, 2 horas, cos 50° ≈ 0,64, ponto T ao ponto R
- Armadilha típica: Não perceber que as direções da bússola determinam ângulos em relação ao norte, e confundir a distância TR com o tempo
- O que a resposta precisa demonstrar: Calcular a posição de R (rota planejada) e T (rota executada) para achar TR usando lei dos cossenos
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Direção de bússola: Ângulo medido em graus a partir do norte (N), no sentido horário
- Lei dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab cos(C)
- Velocidade constante: distância = velocidade × tempo; tempo = distância / velocidade
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: Rota planejada: P→Q (4h, dir. 110) → Q→R (2h, dir. 90)
- Evidência 2: Rota executada: P→S (4h, dir. 340) → S→T (2h, dir. 90)
- Síntese: Calcular as posições de R e T a partir de P, depois usar lei dos cossenos para TR
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Analisar as rotas
Seja v a velocidade constante.
- Rota planejada: P→Q (4v, dir. 110°) e Q→R (2v, dir. 90° = Leste)
- Rota executada: P→S (4v, dir. 340°) e S→T (2v, dir. 90° = Leste)
Subpasso 4.2 — Calcular o ângulo entre as direções 110° e 340°
A diferença entre as direções 340° e 110° é: 340° − 110° = 230°
O ângulo entre os dois vetores P→Q (dir. 110°) e P→S (dir. 340°) é: 360° − 230° = 130° ou equivalentemente 230° (usamos o ângulo interno = 50° para o cálculo via cossenos, pois 180° − 130° = 50°).
Subpasso 4.3 — Calcular o segmento QS
Q e S estão cada um a 4v do ponto P, em direções diferentes. Pelo triângulo PQS:
QS² = (4v)² + (4v)² − 2(4v)(4v)cos(230°)
O ângulo SPQ entre as direções 110° e 340°: Direção 340° equivale a −20° do Norte; direção 110° equivale a 110° do Norte. Ângulo entre eles = 340° − 110° = 230°, mas o ângulo do triângulo é 360° − 230° = 130°.
QS² = 16v² + 16v² − 2(16v²)cos(130°) = 32v² − 32v²(−cos50°) = 32v² + 32v² × 0,64 = 32v²(1 + 0,64) = 32v² × 1,64
Subpasso 4.4 — Calcular TR
Como S→T e Q→R são ambos 2v na direção 90° (Leste), TR = QS.
TR² = 32v² × 1,64
Se a velocidade é v, tempo de TR = TR / v = √(32 × 1,64) = √52,48 ≈ 7,24h ≈ 7h15min.
Direção de T para R: Como R está ao Sul e à direita de T (análise dos deslocamentos), a direção é 135° (SE).
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 135 e 7 horas e 15 minutos. ✅ Correta: Direção 135° (sudeste) e tempo ≈ 7h15min, conforme os cálculos com cos 50° = 0,64.
B) 45 e 7 horas e 15 minutos. ❌ Incorreta: O tempo está correto, mas a direção 45° (nordeste) é o oposto de 135°.
C) 135 e 12 horas. ❌ Incorreta: A direção está correta, mas 12 horas é o triplo do tempo correto — erro de cálculo da distância TR.
D) 135 e 6 horas. ❌ Incorreta: A direção está correta, mas 6 horas seria a distância sem aplicar a lei dos cossenos corretamente.
E) 45 e 6 horas. ❌ Incorreta: Tanto a direção quanto o tempo estão incorretos.
🏆 Gabarito: A — A direção de T a R é 135° e o tempo é aproximadamente 7 horas e 15 minutos.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: A é a única opção com direção 135° (sudeste) E tempo ≈ 7h15min, confirmados pela lei dos cossenos com cos 50° = 0,64.
- Padrão de cobrança: Questões de navegação com bússola e lei dos cossenos são difíceis mas previsíveis — exigem converter direções em ângulos geométricos.
- Generalização: Ao trabalhar com direções de bússola, calcule o ângulo entre os vetores (diferença de direções) e aplique a lei dos cossenos.
- Dica de eliminação rápida: C e D têm tempos muito diferentes (12h e 6h) do esperado para um desvio de ~50°. Elimine-os. Entre A e B, a direção sudeste (135°) faz mais sentido para quem saiu de P em direção oposta ao destino.
- Conexões com outros temas: Lei dos senos; vetores; geometria analítica; trigonometria no triângulo.