Questão 154 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
Quatro candidatos se apresentaram para realizar a prova de um concurso. Antes de iniciar a prova, os celulares dos quatro candidatos foram recolhidos pelo aplicador, que os guardou, cada um, dentro de um envelope preto. Ao término da prova, o aplicador devolveu os quatro envelopes com os celulares aos quatro candidatos, de maneira aleatória, já que não havia feito a identificação dos envelopes.
A probabilidade de que todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (permutação e contagem de arranjos)
- ⚡ Nível: Médio — exige calcular permutações de 4 elementos e identificar a permutação onde todos acertam
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Probabilidade; análise combinatória; EM13MAT407
- 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é a probabilidade de que todos os 4 candidatos recebam de volta exatamente o seu próprio celular?"
- Palavras-chave decisivas: aleatória, todos os candidatos receberam os seus, 4 envelopes
- Armadilha típica: Confundir o número de arranjos favoráveis (1) com o total de permutações possíveis (4!)
- O que a resposta precisa demonstrar: P = casos favoráveis / total = 1 / 4!
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Permutação de n elementos: n! = número de maneiras de distribuir n itens distintos em n posições
- Evento "todos acertam": Existe apenas 1 permutação onde cada candidato recebe o seu próprio celular (a identidade)
- Probabilidade: P = 1 / n!
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "quatro envelopes... devolução aleatória" → total de formas de distribuir = 4! = 24
- Evidência 2: "todos os candidatos receberam de volta os seus respectivos celulares" → apenas 1 forma satisfaz essa condição
- Síntese: P = 1 / 24
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular o total de distribuições possíveis
O aplicador distribui aleatoriamente 4 envelopes distintos para 4 candidatos distintos:
Total = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Subpasso 4.2 — Identificar os casos favoráveis
Para que todos acertem, cada envelope deve ir para o candidato correto. Há apenas 1 maneira de isso acontecer.
Casos favoráveis = 1
Subpasso 4.3 — Calcular a probabilidade
P = 1 / 24
Subpasso 4.4 — Verificação
1/24 está na lista de alternativas (D). Faz sentido: a probabilidade de todos acertarem simultaneamente é muito pequena.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 1/2 ❌ Incorreta: Seria a probabilidade de um único candidato específico receber o envelope certo, se houvesse apenas 2 candidatos.
B) 1/10 ❌ Incorreta: Não há base combinatória para 10 no denominador neste problema.
C) 1/16 ❌ Incorreta: 16 = 2⁴ — seria o total se cada envelope pudesse ir para qualquer dos 4 com reposição, o que não é o caso.
D) 1/24 ✅ Correta: 4! = 24 é o total de permutações. A única favorável é a identidade (cada um recebe o seu). P = 1/24.
E) 1/256 ❌ Incorreta: 256 = 4⁴ — seria o total de distribuições com reposição (cada envelope pode ir a qualquer candidato com repetição), o que não ocorre aqui.
🏆 Gabarito: D — P = 1/24, pois existe apenas 1 permutação favorável entre as 4! = 24 possíveis.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: D é a única fração onde o denominador é 4! = 24, o número correto de permutações de 4 itens.
- Padrão de cobrança: Problemas de "derangement" (todos acertam ou nenhum acerta) aparecem no ENEM com diferentes contextos.
- Generalização: P(todos acertam em distribuição aleatória de n itens) = 1/n!
- Dica de eliminação rápida: Elimine C (16 = 2⁴, não faz sentido) e E (256 = 4⁴, distribuição com reposição). Elimine A (1/2 é muito alto). Compare B e D: 4! = 24, não 10. D é a resposta.
- Conexões com outros temas: Fatorial; permutações; contagem; probabilidade clássica.