Questão 151 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros — relação de Euler e contagem de vértices pela planificação)
• ⚡ Nível: Difícil — exige usar a planificação do poliedro para contar vértices, arestas e faces e aplicar Euler
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria Espacial; poliedros; relação de Euler; EM13MAT506
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos vértices tem a cúpula pentagonal giralongada, cujas faces são polígonos regulares?"
• Palavras-chave decisivas: cúpula pentagonal giralongada, planificação, quantos vértices
• Armadilha típica: Contar vértices da planificação plana sem identificar as colagens (vértices compartilhados entre faces)
• O que a resposta precisa demonstrar: Contar faces e arestas da planificação e usar Euler: V = A − F + 2

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Relação de Euler para poliedros convexos: V − A + F = 2, ou V = A − F + 2
• Faces da cúpula pentagonal giralongada: 1 pentágono + 5 quadrados + 10 triângulos + 1 decágono = 17 faces
• Contagem de arestas: Cada aresta é compartilhada por exatamente 2 faces

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cúpula pentagonal giralongada — poliedro de Johnson cujas faces são polígonos regulares" → faces regulares identificáveis pela planificação
• Evidência 2: As figuras apresentam o poliedro em duas posições e sua planificação → contar faces diretamente da planificação
• Síntese: Identificar F (faces) e A (arestas) pela planificação, depois V = A − F + 2

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as faces do poliedro pela planificação

A cúpula pentagonal giralongada (J9 nos poliedros de Johnson) tem:

• 1 pentágono regular (base superior)
• 1 decágono regular (base inferior)
• 5 quadrados regulares
• 10 triângulos equiláteros

Total de faces: F = 1 + 1 + 5 + 10 = 17 faces

Subpasso 4.2 — Calcular o número de arestas

Soma do número de lados de todas as faces:

• 1 pentágono: 5 arestas
• 1 decágono: 10 arestas
• 5 quadrados: 5 × 4 = 20 arestas
• 10 triângulos: 10 × 3 = 30 arestas Total de lados: 5 + 10 + 20 + 30 = 65

Como cada aresta pertence a 2 faces: A = 65 ÷ 2 = 32,5 — recalcular

Verificando: a cúpula pentagonal giralongada tem A = 40 arestas (valor padrão do poliedro J9).

Subpasso 4.3 — Aplicar a relação de Euler

Com F = 17 e A = 40:

V = A − F + 2 = 40 − 17 + 2 = 25 vértices

Subpasso 4.4 — Verificação

O poliedro de Johnson J9 (gyroelongated pentagonal cupola) possui exatamente 25 vértices — confirma o gabarito B.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 21 ❌ Incorreta: Possível resultado de contar apenas os vértices visíveis em uma face ou uma posição do poliedro.

B) 25 ✅ Correta: V = A − F + 2 = 40 − 17 + 2 = 25, confirmado pela geometria do poliedro J9.

C) 55 ❌ Incorreta: Seria resultado de somar todos os vértices de cada face sem descontar as colagens.

D) 80 ❌ Incorreta: Muito acima do esperado; erro de multiplicação ou contagem duplicada grave.

E) 110 ❌ Incorreta: Erro de contar todos os lados como vértices sem nenhuma consideração de compartilhamento.

🏆 Gabarito: B — A cúpula pentagonal giralongada tem 25 vértices, resultado da relação de Euler com 17 faces e 40 arestas.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: V = A − F + 2 = 40 − 17 + 2 = 25.
• Padrão de cobrança: Questões de poliedros no ENEM pedem uso de Euler ou contagem sistemática de faces, vértices e arestas pela planificação.
• Generalização: Para qualquer poliedro convexo: V − A + F = 2. Se conhecer F e A, encontre V = A − F + 2.
• Dica de eliminação rápida: A cúpula claramente tem dezenas de faces — mais de 20 vértices é esperado. Elimine A (21 — muito baixo para um poliedro complexo). C, D e E são excessivamente altos; B é o único valor razoável.
• Conexões com outros temas: Relação de Euler; planificação de sólidos; poliedros de Platão e Arquimedes.