Questão 141 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.
Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (Prisma regular reto; Tronco de pirâmide regular; faces, congruência de polígonos)
- ⚡ Nível: Difícil — exige visualização 3D de sólido composto e aplicação rigorosa do conceito de congruência (mesma forma E mesmo tamanho)
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Classificação de faces de poliedros compostos; congruência geométrica; abstração espacial
- 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Quantos grupos de faces congruentes (mesma forma e mesmo tamanho) existem na superfície do protótipo? Cada grupo receberá uma cor diferente."
- Palavras-chave decisivas: faces congruentes, cor distinta para cada conjunto, prisma regular reto + tronco de pirâmide regular
- Armadilha típica: Considerar que a base inferior e o topo são congruentes por ambos serem hexágonos — não são, pois têm tamanhos diferentes (congruência exige mesma forma E mesmo tamanho)
- O que a resposta precisa demonstrar: Identificar exatamente 4 grupos distintos de faces congruentes na superfície do sólido composto
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Congruência: Duas figuras são congruentes se têm exatamente a mesma forma E o mesmo tamanho — hexágonos de tamanhos diferentes NÃO são congruentes
- Prisma regular reto: Base hexagonal regular; 6 faces laterais retangulares e congruentes entre si; 2 bases hexagonais congruentes (mas no sólido composto, a base superior do prisma coincide com a base do tronco — face interna, não pintada)
- Tronco de pirâmide regular hexagonal: 6 faces laterais trapezoidais e congruentes entre si; base maior coincide com o topo do prisma (interna); base menor = topo do sólido composto
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "prisma regular reto de base hexagonal" → 6 faces laterais retangulares congruentes + 1 base hexagonal inferior (a superior está colada ao tronco — interna)
- Evidência 2: "tronco de pirâmide regular... posicionado sobre o prisma" → 6 faces laterais trapezoidais congruentes + 1 base hexagonal superior menor (a inferior está colada ao prisma — interna)
- Evidência 3: "faces externas congruentes recebem a mesma cor; faces não congruentes recebem cores diferentes" → contar grupos de faces externas congruentes
- Síntese: Faces externas: base hexagonal grande (1) + retângulos laterais do prisma (6 congruentes) + trapézios laterais do tronco (6 congruentes) + topo hexagonal pequeno (1) = 4 grupos distintos
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Inventariar todas as faces externas O sólido composto tem as seguintes faces visíveis (externas):
- 1 hexágono grande: a base inferior do prisma
- 6 retângulos: as faces laterais do prisma (todos congruentes entre si)
- 6 trapézios isósceles: as faces laterais do tronco (todos congruentes entre si)
- 1 hexágono pequeno: o topo do tronco de pirâmide Total de faces externas: 1 + 6 + 6 + 1 = 14 faces
Subpasso 4.2 — Agrupar faces congruentes
- Grupo 1 (Cor 1): 1 hexágono grande — base do prisma. Nenhuma outra face é congruente a ela.
- Grupo 2 (Cor 2): 6 retângulos do prisma — todos congruentes entre si (prisma regular reto garante isso).
- Grupo 3 (Cor 3): 6 trapézios do tronco — todos congruentes entre si (tronco regular garante isso).
- Grupo 4 (Cor 4): 1 hexágono pequeno — topo do tronco. Não é congruente ao hexágono grande (tamanhos diferentes).
Subpasso 4.3 — Verificar a armadilha dos hexágonos Base inferior = hexágono com lado L (lado do prisma). Topo superior = hexágono com lado l < L (lado menor do tronco). Mesma forma (hexágono regular) mas tamanhos diferentes → NÃO são congruentes → precisam de cores diferentes. Total de grupos = 4.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 9 ❌ Incorreta: Resulta de contar faces individualmente sem aplicar o agrupamento por congruência. Provavelmente soma 1 (base) + 6 (retângulos) + 1 (topo) + 1 (hexágono extra) de forma incorreta, ignorando que faces congruentes recebem a mesma cor.
B) 8 ❌ Incorreta: Outro erro de contagem individual. Pode vir de contar apenas a base, os 6 retângulos e 1 topo (8 faces) sem perceber que os 6 retângulos e os 6 trapézios formam grupos internos de congruência, reduzindo para 4 cores.
C) 6 ❌ Incorreta: Erro sutil — possivelmente o candidato contou os 6 trapézios como 6 grupos diferentes (ignorando que são congruentes entre si) ou incluiu a face interna colada na contagem.
D) 4 ✅ Correta: Quatro grupos distintos de faces congruentes: (1) hexágono grande inferior, (2) 6 retângulos do prisma, (3) 6 trapézios do tronco, (4) hexágono pequeno superior. A imagem fornecida no enunciado ilustra exatamente essas 4 formas distintas: hexágono grande azul, retângulo verde, trapézio amarelo e hexágono pequeno vermelho.
E) 3 ❌ Incorreta: Armadilha clássica — o candidato considerou que a base inferior e o topo são congruentes por ambos serem hexágonos, reduzindo para 3 grupos. Esqueceu que congruência exige mesma forma E mesmo tamanho: hexágono grande ≠ hexágono pequeno.
🏆 Gabarito: D — 4 grupos: hexágono grande (base), 6 retângulos (lateral do prisma), 6 trapézios (lateral do tronco), hexágono pequeno (topo).
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: D é correto: 4 tipos de face distintos na superfície externa do sólido composto, conforme demonstrado pelo inventário e agrupamento por congruência
- Padrão de cobrança: Sólidos compostos e planificações aparecem frequentemente no ENEM em contextos de design, embalagens e engenharia; congruência é conceito-chave sempre testado
- Generalização: Para contar grupos de faces congruentes: (1) liste todas as faces externas por tipo geométrico, (2) verifique se faces do mesmo tipo têm também o mesmo tamanho, (3) conte os grupos distintos resultantes
- Dica de eliminação rápida: A armadilha é sempre os dois hexágonos — verifique se têm o mesmo tamanho antes de agrupá-los. Eliminando E (que agrupa os hexágonos) e A/B (contagem individual), sobra D como única resposta viável
- Conexões com outros temas: Planificação de sólidos; área de superfície lateral; pirâmides e troncos; simetria e grupos de congruência em cristalografia