Questão 178 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia
Dois professores participam de um concurso público com três fases. A primeira fase avalia o desempenho teórico, a segunda fase refere-se às experiências e aos títulos obtidos durante a vida acadêmica, e a última fase avalia o desempenho didático do participante, sendo as notas obtidas nessas fases representadas por F1, F2 e F3, respectivamente. A nota final (NF) dos participantes é calculada por:
NF = 0,4 × F1 + 0,1 × F2 + 0,5 × F3
O candidato precisa apresentar nota mínima igual a 6,0 em cada uma das fases para não ser desclassificado. Em caso de empate nas notas finais, o candidato que obtiver a maior nota na primeira fase será o primeiro colocado.
O primeiro participante obteve nota 7,0 na primeira e na segunda fase e nota 10,0 na última fase. O segundo obteve nota 8,0 em cada uma das duas primeiras fases e ainda participará da terceira fase.
Para alcançar a primeira colocação no concurso, qual é a nota mínima que o segundo participante deverá obter na terceira fase?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Média ponderada (critério de desempate via F1)
- ⚡ Nível: M — comparação de notas ponderadas com regra de desempate
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Média ponderada e inequações aplicadas a avaliação (EM13MAT406 / EM13MAT301)
- 🏆 Gabarito: [D] — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Sabendo NF = 0,4·F1 + 0,1·F2 + 0,5·F3 e os valores dos dois candidatos, determine a menor nota possível F3 do segundo candidato para que ele fique à frente (ou à frente pelo desempate)."
- Palavras-chave decisivas: NF = 0,4·F1 + 0,1·F2 + 0,5·F3, primeira colocação, desempate por F1, notas mínimas 6,0
- Armadilha típica: exigir estritamente NF₂ > NF₁ quando na verdade o candidato 2 tem F1 maior (8,0 > 7,0) e já vence em caso de empate
- O que a resposta precisa demonstrar: calcular NF do 1º candidato, montar NF do 2º como função de F3 e encontrar o mínimo F3 que torna NF₂ ≥ NF₁ (e ≥ 6,0)
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Média ponderada: cada peso multiplica sua nota e a soma é a nota final
- Desempate por F1: como F1₂ = 8,0 > F1₁ = 7,0, basta NF₂ ≥ NF₁ para vencer
- Restrição extra: F3 ≥ 6,0 (nota mínima para não ser desclassificado)
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "1º candidato: F1 = 7,0; F2 = 7,0; F3 = 10,0" → NF₁ = 0,4·7 + 0,1·7 + 0,5·10
- Evidência 2: "2º candidato: F1 = 8,0; F2 = 8,0; F3 = ?" → NF₂ = 0,4·8 + 0,1·8 + 0,5·F3
- Evidência 3: "empate → maior F1 ganha, e F1₂ > F1₁" → basta NF₂ ≥ NF₁
- Síntese: resolver 0,4·8 + 0,1·8 + 0,5·F3 ≥ NF₁ e depois garantir F3 ≥ 6,0
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — NF do 1º candidato NF₁ = 0,4·7 + 0,1·7 + 0,5·10 = 2,8 + 0,7 + 5,0 = 8,5
Subpasso 4.2 — NF do 2º candidato (em função de F3) NF₂ = 0,4·8 + 0,1·8 + 0,5·F3 = 3,2 + 0,8 + 0,5·F3 = 4,0 + 0,5·F3
Subpasso 4.3 — Condição para o 2º ser o primeiro colocado Como F1₂ (8,0) > F1₁ (7,0), em caso de empate nas NF, ele vence. Então: NF₂ ≥ NF₁ → 4,0 + 0,5·F3 ≥ 8,5 → 0,5·F3 ≥ 4,5 → F3 ≥ 9,0
Subpasso 4.4 — Verificação das restrições F3 ≥ 6,0 (mínimo para não desclassificar) → 9,0 ≥ 6,0 ✓ F3 ≤ 10 (nota máxima) → 9,0 ≤ 10 ✓ Com F3 = 9,0: NF₂ = 4,0 + 4,5 = 8,5 = NF₁ → empate; desempate por F1 → 2º vence ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 2,0 ❌ Incorreta: abaixo da nota mínima 6,0; desclassificaria o candidato.
B) 4,0 ❌ Incorreta: também abaixo de 6,0; desclassifica.
C) 6,0 ❌ Incorreta: satisfaz a nota mínima, mas NF₂ = 4,0 + 3,0 = 7,0 < 8,5. Não fica em 1º.
D) 9,0 ✅ Correta: NF₂ = 4,0 + 4,5 = 8,5 = NF₁; o 2º vence pelo desempate em F1.
E) 9,5 ❌ Incorreta: é mais do que o necessário; o mínimo é 9,0, e o enunciado pede a nota mínima.
🏆 Gabarito: [D] — F3 = 9,0 é o menor valor que empata as NFs (8,5 × 8,5) e faz o candidato 2 vencer pelo critério de desempate F1 = 8,0 > 7,0.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: com F3 = 9,0, NF₂ iguala NF₁ e o desempate por F1 favorece o 2º.
- Padrão de cobrança: o ENEM ama pesos em avaliações e ponderações "com regra de desempate" que o candidato precisa perceber para não exigir desigualdade estrita.
- Generalização: se há critério de desempate favorável, a condição relaxa para ≥ em vez de >, mudando completamente o valor mínimo.
- Dica de eliminação rápida: calcule NF₁ = 8,5 e lembre que NF₂ deve ser ≥ 8,5 → F3 ≥ (8,5 − 4,0)/0,5 = 9,0 exatos.
- Conexões com outros temas: inequações, média ponderada, otimização em concursos e vestibulares.