Questão 174 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia
Uma pessoa pretende comprar peças em formato de bloco retangular, que serão colocadas uma ao lado da outra para montar um armário cujo comprimento seja exatamente 150 cm. Em uma pesquisa na internet, ela encontrou cinco tipos de peças diferentes, de mesma altura e mesma profundidade, com larguras externas medindo:
• peça I: 25 cm;
• peça II: 35 cm;
• peça III: 40 cm;
• peça IV: 60 cm;
• peça V: 75 cm.
Essa pessoa comprará pelo menos dois tipos de peças com larguras diferentes e na menor quantidade, de modo que a soma das medidas das larguras corresponda a 150 cm.
Para que seu objetivo seja alcançado, ela deverá comprar quantas peças?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Aritmética (decomposição de um total em parcelas heterogêneas com restrição de mínimo)
- ⚡ Nível: M — exige testar combinações que somem 150 cm usando no mínimo dois tipos e a menor quantidade de peças
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolução de problemas com combinações de valores inteiros (EM13MAT301)
- 🏆 Gabarito: [B] — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Quantas peças ela comprará, se precisar usar pelo menos 2 tipos diferentes entre {25, 35, 40, 60, 75} cm e a soma for exatamente 150 cm, com o menor número total de peças?"
- Palavras-chave decisivas: pelo menos 2 tipos, menor quantidade, soma exata 150 cm
- Armadilha típica: aceitar 75 + 75 = 150 (que é só um tipo) ou 60 + 60 + 30 (não há 30)
- O que a resposta precisa demonstrar: encontrar a menor combinação possível com tipos distintos e conferir alternativas
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Decomposição com restrição: busca de combinações (a·25 + b·35 + c·40 + d·60 + e·75) = 150 com pelo menos dois dos coeficientes positivos
- Minimizar peças totais: maximizar o uso das peças maiores (60 e 75) respeitando a condição de diversidade
- Verificação caso a caso: testar combinações com 2 peças, depois 3 etc.
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "pelo menos dois tipos com larguras diferentes" → exclui soluções com só um tipo (ex.: 75 + 75)
- Evidência 2: "menor quantidade" → testar primeiro 2 peças, depois 3
- Síntese: procurar 2 peças de tipos diferentes que somem 150; se impossível, tentar 3; e assim por diante
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Tentativa com 2 peças (tipos diferentes) Somas possíveis com 2 peças distintas: 25+35=60; 25+40=65; 25+60=85; 25+75=100; 35+40=75; 35+60=95; 35+75=110; 40+60=100; 40+75=115; 60+75=135. Nenhuma soma 150. Impossível com 2 peças.
Subpasso 4.2 — Tentativa com 3 peças (ao menos 2 tipos diferentes) Testar combinações com o maior valor possível (75): 75 + 35 + 40 = 150 ✓ (3 tipos diferentes, 3 peças) — solução válida! Outras: 75 + 75 + … = um tipo só; 60 + 60 + 30 → não existe 30; 75 + 60 + 15 → não existe 15.
Subpasso 4.3 — Confirmar que 3 é a menor quantidade Como 2 peças é impossível (passo 4.1), o mínimo é 3 peças.
Subpasso 4.4 — Verificação Soma: 75 + 35 + 40 = 150 ✓ Tipos distintos: peça II (35), peça III (40) e peça V (75) → 3 tipos, atende "pelo menos 2 tipos" ✓ Quantidade mínima = 3 peças.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 2 ❌ Incorreta: nenhuma soma de dois valores distintos do conjunto {25, 35, 40, 60, 75} resulta em 150.
B) 3 ✅ Correta: 75 + 35 + 40 = 150 com três tipos diferentes.
C) 4 ❌ Incorreta: existem combinações com 4 peças (ex.: 40 + 40 + 35 + 35), mas 3 peças já resolvem o problema.
D) 5 ❌ Incorreta: 5 peças é bem mais do que o mínimo; contrariaria "menor quantidade".
E) 6 ❌ Incorreta: 6 peças de 25 (25·6 = 150) usam um único tipo; viola o "pelo menos dois tipos".
🏆 Gabarito: [B] — 3 peças é o mínimo possível, obtido com 75 cm + 40 cm + 35 cm = 150 cm.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: impossível com 2 peças distintas; possível com 3 → 3 é o mínimo.
- Padrão de cobrança: o ENEM adora problemas de "carteira de pagamentos" ou "combinação de medidas" que exigem enumeração sistemática.
- Generalização: para somar S com k tipos obrigatórios e menor número de parcelas, priorize as peças maiores e complete com as menores.
- Dica de eliminação rápida: some as duas maiores (60 + 75 = 135) → falta 15, e não existe 15 no conjunto. Com a peça de 75, falta 75 que só se obtém combinando duas (35 + 40). Chega rápido em 3.
- Conexões com outros temas: problemas de troco, análise combinatória simples, equações diofantinas.