Questão 168 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia
Um engenheiro é responsável por acompanhar o processo de controle de produção de uma fábrica de parafusos. Esse processo é considerado sob controle se o comprimento C dos parafusos satisfizer M − 3d ≤ C ≤ M + 3d sendo M a média dos comprimentos e d o desvio padrão dos comprimentos dos parafusos. Na última coleta de dados em que o processo foi considerado sob controle, foram obtidos M = 5,0 cm e d = 1,2 cm.
Com a chegada de uma nova máquina, a variabilidade dos comprimentos dos parafusos foi reduzida, e o processo foi considerado sob controle. A média dos comprimentos dos parafusos produzidos por essa nova máquina foi 5,6 cm, e nenhum desses parafusos teve comprimento menor que a medida mínima, nem maior que a medida máxima dos parafusos produzidos pela máquina anterior.
O desvio padrão, em centímetro, para o novo intervalo deverá ser, no máximo,
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (média, desvio padrão, controle estatístico de processo)
- ⚡ Nível: M — exige interpretar a condição de controle e trabalhar com uma inequação simétrica
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Medidas de dispersão — desvio padrão (EM13MAT406 / EM13MAT407)
- 🏆 Gabarito: [B] — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual o maior desvio padrão possível na máquina nova, sabendo que M = 5,6 cm e que os comprimentos precisam permanecer entre os limites do processo antigo (5,0 ± 3·1,2)?"
- Palavras-chave decisivas: M − 3d ≤ C ≤ M + 3d, no máximo, mesmo intervalo anterior
- Armadilha típica: usar a média antiga no novo intervalo ou ignorar que o lado superior limita mais que o inferior
- O que a resposta precisa demonstrar: que o novo d deve satisfazer 5,6 − 3d ≥ 1,4 e 5,6 + 3d ≤ 8,6, e escolher o menor dos dois limites
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Controle estatístico: comprimentos aceitos no intervalo [M − 3d, M + 3d]
- Limites da máquina antiga: L_min = 5,0 − 3·1,2 = 1,4 e L_max = 5,0 + 3·1,2 = 8,6
- Condição do problema: o intervalo da nova máquina deve estar DENTRO de [1,4; 8,6], pois "nenhum parafuso teve comprimento menor que o mínimo nem maior que o máximo anterior"
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "M = 5,0 cm e d = 1,2 cm (máquina antiga)" → intervalo antigo [1,4; 8,6]
- Evidência 2: "M = 5,6 cm na nova máquina, sem ultrapassar os limites antigos" → 5,6 − 3d ≥ 1,4 e 5,6 + 3d ≤ 8,6
- Síntese: resolver cada inequação isoladamente e tomar o menor resultado de d, pois o "no máximo" garante que ambos os limites são respeitados
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Limites do intervalo antigo L_min = 5,0 − 3·1,2 = 5,0 − 3,6 = 1,4 cm L_max = 5,0 + 3·1,2 = 5,0 + 3,6 = 8,6 cm
Subpasso 4.2 — Restrições da nova máquina (M = 5,6 cm) Limite inferior: 5,6 − 3d ≥ 1,4 → 3d ≤ 5,6 − 1,4 → 3d ≤ 4,2 → d ≤ 1,4 Limite superior: 5,6 + 3d ≤ 8,6 → 3d ≤ 8,6 − 5,6 → 3d ≤ 3,0 → d ≤ 1,0
Subpasso 4.3 — Combinação das duas restrições Para respeitar as duas simultaneamente: d ≤ min(1,4 ; 1,0) = 1,0 cm
Subpasso 4.4 — Verificação Com d = 1,0: intervalo novo = [5,6 − 3; 5,6 + 3] = [2,6; 8,6] ⊂ [1,4; 8,6] ✓ Com d = 1,2 (valor antigo): intervalo = [2,0; 9,2] — ultrapassa 8,6, violaria a condição ✗
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 0,60. ❌ Incorreta: vem de (5,6 − 5,0)/1 ou de interpretar apenas a diferença de médias — não é o desvio máximo.
B) 1,00. ✅ Correta: resulta de 3d ≤ 8,6 − 5,6 = 3 → d ≤ 1,0 (limite superior é o mais restritivo).
C) 1,12. ❌ Incorreta: não vem de cálculo coerente; parece média ponderada sem base.
D) 1,2. ❌ Incorreta: é o desvio antigo; manteria o enunciado inalterado (mas o limite superior estouraria).
E) 1,80. ❌ Incorreta: dobra equivocadamente a folga 8,6 − 5,6 = 3 para 6 e divide por algo errado.
🏆 Gabarito: [B] — d ≤ 1,00 cm é o máximo compatível com a permanência dentro dos limites 1,4 cm e 8,6 cm da máquina antiga.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: como a nova média (5,6) está mais próxima do limite superior (8,6) do que do inferior (1,4), a restrição apertada vem de cima: d ≤ 1,0.
- Padrão de cobrança: inequações simétricas com média deslocada aparecem em CEP (controle estatístico de processo) — ENEM cobra leitura do intervalo [μ − kσ; μ + kσ].
- Generalização: quando μ desloca dentro de [A, B], o σ_max = min((μ − A); (B − μ)) / k.
- Dica de eliminação rápida: calcule as duas folgas (5,6 − 1,4 = 4,2 e 8,6 − 5,6 = 3,0), divida a menor por 3 e já tem a resposta.
- Conexões com outros temas: distribuição normal (regra empírica 68-95-99,7), qualidade Seis Sigma, inequações modulares.