Questão 163 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (Área do Círculo)
• ⚡ Nível: F — aplicação direta da fórmula da área do círculo e cálculo de diferença entre duas áreas.
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Áreas de figuras planas, em particular a coroa circular (H11/EM13MAT201).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a área da coroa circular formada entre um círculo de raio 30 km (antes) e um de raio 40 km (depois), usando π ≈ 3?"
• Palavras-chave decisivas: raio 30 km → 40 km, π = 3, aumento da área.
• Armadilha típica: calcular a diferença dos raios ao quadrado (40² − 30²)² ou usar perímetro em vez de área.
• O que a resposta precisa demonstrar: ΔA = π(R² − r²) = 3 · (1 600 − 900) = 3 · 700 = 2 100 km².

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do círculo: A = π · r².
• Área da coroa circular: A_coroa = π · (R² − r²).
• Valores: R = 40 km → R² = 1 600; r = 30 km → r² = 900.
• π aproximado: 3.

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "raio ampliado de 30 para 40 km" → R = 40, r = 30.
• Evidência 2: "use 3 como valor de π" → substituir π por 3 no final.
• Evidência 3: "aumento da área" → diferença entre áreas, não razão ou soma.
• Síntese: ΔA = π·(40² − 30²) = 3·700 = 2 100.

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área antiga (raio 30 km) A₁ = π · 30² = π · 900. Com π ≈ 3: A₁ ≈ 2 700 km².

Subpasso 4.2 — Área nova (raio 40 km) A₂ = π · 40² = π · 1 600. Com π ≈ 3: A₂ ≈ 4 800 km².

Subpasso 4.3 — Aumento ΔA = A₂ − A₁ = 4 800 − 2 700 = 2 100 km².

Ou diretamente: ΔA = π · (1 600 − 900) = 3 · 700 = 2 100 km². ✓

Subpasso 4.4 — Verificação A coroa tem largura 10 km e "raio médio" 35 km. Aproximação: perímetro médio × largura = 2π · 35 · 10 = 6 · 350 = 2 100 km². Bate exatamente ✓ (cai certinho porque a fórmula da coroa equivale a esta aproximação quando usamos π = 3).

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 300 ❌ Incorreta: 300 corresponderia a π·(40 − 30)·... algum produto parcial; muito abaixo do valor real.

B) 2 100 ✅ Correta: ΔA = 3·(1 600 − 900) = 2 100 km² — único valor que respeita a fórmula da coroa circular com π = 3.

C) 4 800 ❌ Incorreta: 4 800 é a área nova total (π·40² = 3·1 600), não o aumento. Erro típico de esquecer de subtrair a área antiga.

D) 7 500 ❌ Incorreta: 7 500 = 2 700 + 4 800 (soma das duas áreas), sem sentido físico; erro de somar em vez de subtrair.

E) 14 700 ❌ Incorreta: 14 700 corresponde a π·(40² + 30²)·ajustes, ou a dobrar erroneamente alguma parcela; número muito distante.

🏆 Gabarito: B — o aumento da área isolada é de 2 100 km² (coroa circular com R = 40 e r = 30, π = 3).

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a diferença π·(R² − r²) = 3·700 = 2 100 é a única compatível com a fórmula da coroa circular.
• Padrão de cobrança: "aumento/diferença de área" entre dois círculos concêntricos é clássica no ENEM (raios de cobertura, margens, zonas de segurança).
• Generalização: A_coroa = π·(R² − r²) = π·(R − r)·(R + r). Aqui: π·10·70 = 2 100.
• Dica de eliminação rápida: a área nova é 4 800 e a antiga é 2 700; o aumento tem que ser a diferença (≈ 2 100). Entre as alternativas, só B se encaixa.
• Conexões com outros temas: área de coroa (tampos de copo, arenas), diferença de potência (2, raios), produto notável (R² − r²).