Questão 159 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica (Termo Geral)
• ⚡ Nível: M — exige identificar a PG das capacidades (razão 2) e escrever o termo geral dos preços.
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Sequências e progressões — termo geral da PG (H22/EM13MAT507).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escrever o preço Pₙ em função de n, sabendo que as capacidades são 32, 64, 128, 256, 512 GB e o preço é R$ 10 por GB."
• Palavras-chave decisivas: 32, 64, 128, 256, 512 (PG de razão 2), R$ 10 por GB.
• Armadilha típica: usar fórmula da PA ou confundir o índice inicial (começa em n = 1 ou n = 0?).
• O que a resposta precisa demonstrar: Pₙ = 10 · 2^(n+4), que produz 320, 640, 1 280, 2 560, 5 120 para n = 1, 2, 3, 4, 5.

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• PG: termo geral aₙ = a₁ · q^(n−1).
• Capacidades: 32 = 2⁵, 64 = 2⁶, 128 = 2⁷, 256 = 2⁸, 512 = 2⁹.
• Preço = 10 · capacidade.
• Termo geral dos preços: Pₙ = 10 · 2^(n+4) (para n = 1 dá 10·2⁵ = 320; n = 5 dá 10·2⁹ = 5 120).

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "capacidades: 32, 64, 128, 256, 512" → Cₙ = 2⁵·2^(n−1) = 2^(n+4).
• Evidência 2: "preço de R$ 10 por GB" → Pₙ = 10 · Cₙ.
• Síntese: substituir Cₙ e ler o gabarito.

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reescrever as capacidades em potências de 2 32 = 2⁵, 64 = 2⁶, 128 = 2⁷, 256 = 2⁸, 512 = 2⁹. Para n = 1, 2, 3, 4, 5, a capacidade é Cₙ = 2^(n+4).

Subpasso 4.2 — Montar a expressão do preço Preço por GB = 10 reais → Pₙ = 10 · Cₙ = 10 · 2^(n+4).

Subpasso 4.3 — Testar todos os valores

• n = 1: 10 · 2⁵ = 10 · 32 = 320 → P₁ ✓ (32 GB a R$ 10/GB = R$ 320).
• n = 2: 10 · 2⁶ = 640 ✓.
• n = 3: 10 · 2⁷ = 1 280 ✓.
• n = 4: 10 · 2⁸ = 2 560 ✓.
• n = 5: 10 · 2⁹ = 5 120 ✓.

Subpasso 4.4 — Verificação com outra alternativa Testando B) 5·2^(n+6) em n = 1: 5·2⁷ = 5·128 = 640 ≠ 320. Falha. Só C passa. ✓

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2^(n+4) ❌ Incorreta: em n = 1 resulta em 2⁵ = 32 (o valor da capacidade, não do preço); falta multiplicar por 10.

B) 5 · 2^(n+6) ❌ Incorreta: em n = 1 dá 5 · 128 = 640, valor que bate com P₂ mas não com P₁ (320). Erro de deslocamento do índice.

C) 10 · 2^(n+4) ✅ Correta: em n = 1 dá 10·32 = 320; em n = 5 dá 10·512 = 5 120 — coincide exatamente com a sequência de preços.

D) 10 · (2ⁿ + 4) ❌ Incorreta: em n = 1 dá 10·(2+4) = 60, muito abaixo de 320. Coloca o expoente fora do produto principal.

E) 10 · (2^(n−1) + 32) ❌ Incorreta: em n = 1 dá 10·(1+32) = 330, próximo mas diferente de 320; em n = 2 dá 10·(2+32) = 340, bem longe de 640. Estrutura aditiva em vez de multiplicativa.

🏆 Gabarito: C — Pₙ = 10 · 2^(n+4) reproduz toda a sequência 320, 640, 1 280, 2 560, 5 120.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a PG das capacidades (razão 2, primeiro termo 2⁵) combinada ao preço fixo por GB gera exatamente 10·2^(n+4).
• Padrão de cobrança: ENEM cobra termo geral de PG frequentemente em contextos tecnológicos (memória, bits, pixels).
• Generalização: sempre que aparecer sequência dobrando (·2), o termo geral é k·2^(n+m) — descubra m por um teste rápido (n = 1).
• Dica de eliminação rápida: substitua n = 1 e compare com 320. Apenas C devolve 320 — elimine as demais imediatamente.
• Conexões com outros temas: potências de 2 em Informática, crescimento exponencial, PG em juros compostos.