Questão 151 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (Semelhança de Triângulos)
• ⚡ Nível: M — exige identificar triângulos semelhantes em uma situação de projeção de sombra e montar uma proporção entre três segmentos.
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Semelhança de triângulos e proporcionalidade (H7/EM13MAT307 — resolver problemas que envolvem figuras semelhantes).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a relação entre H (sombra projetada) e X (distância haste–vela), sabendo que a haste mede 20 cm e a distância chama–parede é 140 cm?"
• Palavras-chave decisivas: haste paralela à parede, sombra H, chama a 140 cm da parede, X = distância haste–chama.
• Armadilha típica: confundir X com a distância da haste à parede (que vale 140 − X) ou aplicar a semelhança invertida.
• O que a resposta precisa demonstrar: montar a semelhança entre o triângulo formado pela metade da sombra (H/2) com a parede e o triângulo formado pela metade da haste (10 cm) com a haste, tendo a chama como vértice comum.

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Semelhança de triângulos (caso AA): dois triângulos com dois ângulos congruentes possuem lados homólogos proporcionais.
• Projeção central (fonte pontual): a chama é uma fonte pontual; os raios de luz que tangenciam os extremos da haste formam um triângulo com vértice na chama e base na parede.
• Proporção-chave: (meia-altura da sombra)/(meia-altura da haste) = (distância chama–parede)/(distância chama–haste).
• Simetria do esquema: a haste e a parede são paralelas, então dividir pela metade em cima e embaixo gera triângulos retângulos semelhantes simétricos.

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "haste com 20 cm paralela à parede" → a meia-haste vale 10 cm e os dois triângulos (superior e inferior) são congruentes entre si.
• Evidência 2: "distância entre a chama e a parede = 140 cm" → essa é a altura (cateto maior) do triângulo grande com vértice na chama.
• Evidência 3: "X = distância da haste à chama" → X é a altura (cateto maior) do triângulo pequeno com vértice na chama.
• Evidência 4: "sombra de comprimento H na parede" → a semi-sombra vale H/2 e é o cateto vertical do triângulo grande.
• Síntese: aplicar semelhança (H/2)/(140) = (10)/X para extrair a relação pedida.

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os triângulos semelhantes Considerando a metade superior do esquema: o triângulo grande tem catetos H/2 (na parede) e 140 cm (horizontal, chama → parede). O triângulo pequeno tem catetos 10 cm (meia-haste) e X (horizontal, chama → haste). Eles compartilham o mesmo ângulo na chama e ambos são retângulos → semelhantes pelo caso AA.

Subpasso 4.2 — Montar a proporção Lados homólogos: (H/2)/10 = 140/X

Subpasso 4.3 — Isolar a relação H–X Multiplicando em cruz: (H/2) · X = 10 · 140 (H · X)/2 = 1 400 H · X = 2 800

Subpasso 4.4 — Verificação Se X = 70 cm (haste no meio), então H = 2 800/70 = 40 cm. Faz sentido: haste de 20 cm a meio caminho projeta sombra de 40 cm (dobro), pois o "cone" de luz dobra de largura ao dobrar a distância. Coerente com a geometria de projeção central. ✓

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) H/X = 1/7 ❌ Incorreta: H e X não mantêm razão constante; o produto é constante, não o quociente. Além disso, 1/7 seria uma razão arbitrária que não surge dos dados 20 e 140.

B) H/X = 7 ❌ Incorreta: também assume razão constante entre H e X. O valor 7 vem de 140/20, mas a relação correta é de produto (hiperbólica), não de proporção direta.

C) H · X = 700 ❌ Incorreta: corresponderia a (H/2)·X = 10·140/4 ou a um erro de esquecer de multiplicar por 2 ao passar de (H·X)/2 para H·X. Numericamente errado.

D) H · X = 1 400 ❌ Incorreta: é exatamente o resultado de (H/2)·X = 1 400 sem isolar H·X; falta multiplicar por 2. Erro clássico de parar no meio do cálculo.

E) H · X = 2 800 ✅ Correta: resulta de H · X = 2 · 10 · 140 = 2 800, aplicando corretamente a semelhança com a meia-haste e a meia-sombra.

🏆 Gabarito: E — pela semelhança (H/2)/10 = 140/X, que leva a H · X = 2 800.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E traduz corretamente a semelhança em um produto constante; as razões H/X variam conforme X, mas o produto H·X permanece fixo para uma mesma vela e parede.
• Padrão de cobrança: projeção de sombra por fonte pontual é recorrente no ENEM (visão, pinhole, câmara escura, eclipses).
• Generalização: para qualquer haste de altura h entre uma fonte pontual e uma parede distante D, com distância x da fonte, a sombra H satisfaz H/h = D/x, ou seja, H·x = h·D (produto constante).
• Dica de eliminação rápida: alternativas A e B (razão constante) contradizem a geometria de projeção central — elimine imediatamente. Entre C, D e E, basta lembrar que a haste inteira tem 20 cm e a distância total é 140 cm → produto 20·140 = 2 800.
• Conexões com outros temas: óptica geométrica (câmara escura, eclipses), escalas em mapas, homotetia.