Questão 148 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia
A figura representa uma bola de basquete dentro de uma caixa no formato de paralelepípedo reto de base quadrada, cuja altura mede 27 cm. A bola, quando cheia, tem o formato de uma esfera de 30 cm de diâmetro, que tangencia as faces laterais e a base inferior da caixa, e parte dela fica no exterior da caixa. A tampa tem uma abertura circular que se ajusta perfeitamente à bola.
Qual é a medida da área da tampa da caixa, em centímetro quadrado?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (esfera inscrita em paralelepípedo, corte transversal)
- ⚡ Nível: D — exige visualizar o corte da esfera pela tampa e calcular raio da circunferência de intersecção
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria espacial; relacionar esferas e planos; calcular áreas compostas
- 🏆 Gabarito: [LETRA] — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual a área da tampa (quadrada 30×30 com abertura circular) de uma caixa de altura 27 cm contendo uma esfera de diâmetro 30 cm (r = 15) tangente às faces laterais e inferior, e que ultrapassa a tampa?"
- Palavras-chave decisivas: base quadrada, altura 27 cm, esfera Ø 30 cm (r = 15), tangencia as faces laterais e base, abertura circular na tampa
- Armadilha típica: confundir o raio da abertura circular (corte da esfera pela tampa) com o raio da esfera; ou calcular área da tampa completa (30²) sem descontar o furo
- O que a resposta precisa demonstrar: cálculo do raio do círculo de intersecção e área da tampa = lado² − área do furo
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Esfera inscrita em prisma de base quadrada (tangenciando 4 faces laterais): a aresta da base é igual ao diâmetro da esfera (2r)
- Corte de esfera por plano: se a distância do centro ao plano é d (com d < r), o raio da circunferência de intersecção é ρ = √(r² − d²)
- Área da tampa com furo circular: A_tampa = A_quadrado − A_círculo = lado² − π · ρ²
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "esfera tangencia as faces laterais" → o lado da base quadrada é 2 · 15 = 30 cm ⇒ A_quadrado = 30 · 30 = 900 cm²
- Evidência 2: "esfera tangencia a base inferior" → centro da esfera fica 15 cm acima da base
- Evidência 3: "altura da caixa = 27 cm" → a tampa está a 27 cm da base, logo a 27 − 15 = 12 cm acima do centro da esfera
- Evidência 4: "parte da bola fica no exterior da caixa" → a tampa corta a esfera a 12 cm do centro (< 15, raio da esfera)
- Síntese: raio do furo = √(15² − 12²) = √(225 − 144) = √81 = 9 ⇒ A_furo = π · 9²; A_tampa = 30² − π · 9²
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Dimensões do paralelepípedo Base quadrada de lado 30 cm (igual ao diâmetro da esfera), altura 27 cm.
Subpasso 4.2 — Posição do centro da esfera Centro da esfera está no meio vertical da esfera, logo a 15 cm do chão.
Subpasso 4.3 — Distância da tampa ao centro Altura da caixa − altura do centro = 27 − 15 = 12 cm
Subpasso 4.4 — Raio do círculo de intersecção (furo da tampa) Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera, distância do centro à tampa e o raio do furo: 15² = 12² + ρ² 225 = 144 + ρ² ρ² = 81 ρ = 9 cm
Subpasso 4.5 — Área da tampa A_tampa = A_quadrado − A_furo = 30² − π · 9²
Subpasso 4.6 — Verificação 30² − π · 9² = 900 − 81π (forma compacta). Confere com a alternativa D.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) π · 9² ❌ Incorreta: representa apenas a área do furo circular, não da tampa.
B) π · 15² ❌ Incorreta: seria a área de um círculo de raio 15 (o raio da esfera), ignorando que a tampa é quadrada e o furo tem raio 9.
C) 30² − π · 3² ❌ Incorreta: usa ρ = 3 cm, o que viria de um cálculo como √(15² − 14²), inconsistente com a altura da caixa.
D) 30² − π · 9² ✅ Correta: 900 − 81π, resultado de quadrado menos o círculo de intersecção com raio 9 cm.
E) 30² − π · 15² ❌ Incorreta: usa ρ = 15 (raio da esfera), como se a tampa passasse pelo equador da esfera; inconsistente com altura 27 cm.
🏆 Gabarito: D — a área da tampa é 30² − π · 9².
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: 900 − 81π é o único valor compatível com o corte da esfera a 12 cm do centro
- Padrão de cobrança: ENEM cobra esfera inscrita em paralelepípedo com cortes planos; exige Teorema de Pitágoras em 3D
- Generalização: para qualquer esfera de raio r cortada por plano a distância d do centro, o raio do círculo de corte é √(r² − d²)
- Dica de eliminação rápida: perceba que o furo precisa ser menor que o diâmetro (15); portanto, alternativas com π·15² ou π·9² isolado são improváveis
- Conexões com outros temas: Teorema de Pitágoras, áreas compostas, intersecção esfera-plano