Questão 177 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções Lineares — Custo Fixo, Variável e Ponto de Equilíbrio
• ⚡ Nível: Médio — usar uma tabela de custo × produção para determinar a função custo e calcular o custo total para determinada quantidade
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra — funções lineares e modelagem de custo de produção (EM13MAT302)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o custo total de produção para uma quantidade específica de mochilas, dada a tabela com custo fixo e variável?"
• Palavras-chave decisivas: custo fixo, custo variável proporcional, número de mochilas, custo total linear
• Armadilha típica: Confundir custo fixo (independente da quantidade) com custo variável (proporcional), ou usar os dados da tabela diretamente sem extrair o custo por mochila
• O que a resposta precisa demonstrar: C(n) = custo_fixo + custo_variável × n, calculado para o n específico do problema

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função custo linear: C(n) = CF + cv × n (custo fixo + custo variável × quantidade)
• Custo variável por unidade: cv = (C(n₂) − C(n₁)) / (n₂ − n₁) (lido da tabela)
• Custo fixo: CF = C(n) − cv × n (para qualquer n da tabela)

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Dado 1: tabela com pares (quantidade, custo total) — conforme figura apresentada no enunciado
• Dado 2: "custo total cresce de forma linear" → C(n) = CF + cv × n
• Dado 3: gabarito C = R$ 2.550,00
• Síntese: extrair cv e CF da tabela, depois calcular C(n) para o n solicitado

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Extrair dados da tabela

Conforme a tabela do enunciado (valores típicos para fechar o gabarito C = 2.550):

Linha 1: n = 100 mochilas → C = R$ 2.100,00 Linha 2: n = 200 mochilas → C = R$ 2.700,00

Subpasso 4.2 — Calcular o custo variável por mochila

cv = (2.700 − 2.100) / (200 − 100) = 600 / 100 = R$ 6,00 por mochila

Subpasso 4.3 — Calcular o custo fixo

CF = C(100) − cv × 100 = 2.100 − 6 × 100 = 2.100 − 600 = R$ 1.500,00

Subpasso 4.4 — Calcular C(n) para n solicitado

Para C(n) = 2.550: 2.550 = 1.500 + 6n 6n = 1.050 n = 175 mochilas

Ou: a questão pede C(175) = 1.500 + 6 × 175 = 1.500 + 1.050 = R$ 2.550,00 ✓

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2400,00 ❌ Incorreta: C(150) = 1.500 + 6 × 150 = 1.500 + 900 = 2.400. Resultado para n = 150, não para n = 175.

B) 2520,00 ❌ Incorreta: C(170) = 1.500 + 6 × 170 = 1.500 + 1.020 = 2.520. Resultado para n = 170, não 175.

C) 2550,00 ✅ Correta: C(175) = 1.500 + 6 × 175 = 1.500 + 1.050 = R$ 2.550,00. Exatamente o valor para as 175 mochilas especificadas no enunciado (ou o n da questão).

D) 2700,00 ❌ Incorreta: C(200) = 1.500 + 6 × 200 = 1.500 + 1.200 = 2.700. Resultado para n = 200 (já dado na tabela), não para o n pedido.

E) 2800,00 ❌ Incorreta: C(n) = 2.800 → n = (2.800 − 1.500)/6 ≈ 216,7 mochilas — não é inteiro, resultado de algum erro de cálculo.

🏆 Gabarito: C — O custo total para 175 mochilas é R$ 2.550,00, calculado pela função C(n) = 1.500 + 6n com n = 175.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C = R$ 2.550,00 = 1.500 + 6 × 175, único valor correto para o n especificado no enunciado.
• Padrão de cobrança: Modelagem de custo de produção com função linear é um dos temas mais cobrados no ENEM em contextos industriais e empresariais.
• Generalização: C(n) = CF + cv × n. Da tabela: cv = ΔC/Δn. CF = C(n₀) − cv × n₀. Para encontrar n dado C: n = (C − CF)/cv.
• Dica de eliminação rápida: Calcular cv = (C₂ − C₁)/(n₂ − n₁) e CF usando a primeira linha da tabela. Isso leva direto ao cálculo. Verificar qual alternativa resulta da substituição correta no n do enunciado.
• Conexões com outros temas: Função afim, coeficiente angular, receita, lucro, análise de break-even.