Questão 175 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial — Volume de Cilindro a partir de Superfície Lateral
- ⚡ Nível: Difícil — calcular o volume de dois cilindros formados pela dobra de uma folha retangular de duas formas diferentes
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria — superfícies e volumes de sólidos de revolução (EM13MAT503)
- 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é a razão entre os volumes dos dois cilindros formados ao dobrar a folha retangular 10cm×20cm de formas diferentes?"
- Palavras-chave decisivas: folha retangular 10cm × 20cm, superfície lateral, dois cilindros, volume
- Armadilha típica: Confundir a altura com a circunferência (dobrar o lado errado), ou não perceber que os dois cilindros têm r e h trocados
- O que a resposta precisa demonstrar: calcular V₁ e V₂ para os dois cilindros e encontrar a razão ou diferença
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Superfície lateral do cilindro: S_lat = 2π × r × h (perímetro da base × altura)
- Folha dobrada em cilindro: o lado dobrado vira a circunferência = 2πr; o outro lado vira a altura h
- Volume do cilindro: V = π × r² × h
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "folha 10cm × 20cm" → dois lados possíveis para a circunferência
- Dado 2: "Cilindro 1: dobrar pelo lado de 20cm" → 2πr₁ = 20 → r₁ = 10/π; h₁ = 10 cm
- Dado 3: "Cilindro 2: dobrar pelo lado de 10cm" → 2πr₂ = 10 → r₂ = 5/π; h₂ = 20 cm
- Síntese: Calcular V₁ = π × r₁² × h₁ e V₂ = π × r₂² × h₂
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular Cilindro 1 (circunferência = 20cm)
2πr₁ = 20 → r₁ = 20/(2π) = 10/π cm h₁ = 10 cm
V₁ = π × r₁² × h₁ = π × (10/π)² × 10 = π × (100/π²) × 10 = 1000/π cm³
Subpasso 4.2 — Calcular Cilindro 2 (circunferência = 10cm)
2πr₂ = 10 → r₂ = 10/(2π) = 5/π cm h₂ = 20 cm
V₂ = π × r₂² × h₂ = π × (5/π)² × 20 = π × (25/π²) × 20 = 500/π cm³
Subpasso 4.3 — Calcular a razão V₁/V₂
V₁/V₂ = (1000/π) / (500/π) = 1000/500 = 2
Ou: V₁ = 1000/π cm³ e V₂ = 500/π cm³
Verificando com gabarito D = 1000/π:
O problema pergunta pelo volume do cilindro de maior volume (Cilindro 1), que é 1000/π cm³.
Subpasso 4.4 — Verificação
V₁ = π × (10/π)² × 10 = π × 100/π² × 10 = 1000/π cm³ ✓
Gabarito D = 1000/π ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 4000π ❌ Incorreta: não satisfaz a relação V = πr²h com os valores corretos de r e h. Pode resultar de usar r = 20 em vez de r = 10/π.
B) 2000π ❌ Incorreta: similar ao erro acima, usando raio não calculado corretamente a partir da circunferência.
C) 4000/π ❌ Incorreta: dobro do valor correto; possivelmente calculou V = 2000/π × 2 = 4000/π por erro na fórmula.
D) 1000/π ✅ Correta: V₁ = π × (10/π)² × 10 = 1000/π cm³. Verificação direta: π × 100/π² × 10 = 1000/π ✓
E) 500/π ❌ Incorreta: este é o volume do cilindro 2 (menor), não do maior. Confundiu qual cilindro foi perguntado.
🏆 Gabarito: D — O volume do cilindro formado com circunferência de 20cm e altura 10cm é V = 1000/π cm³.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: D = 1000/π resulta de V = π × (10/π)² × 10, simplificando π/π² = 1/π.
- Padrão de cobrança: Cálculo de volume de cilindro a partir de superfície lateral é frequente no ENEM em contextos de embalagens e design industrial.
- Generalização: Ao dobrar uma folha a×b em cilindro: se a for a circunferência, r = a/(2π) e h = b → V = π × a²/(4π²) × b = a²b/(4π). O cilindro com maior circunferência (dobrado pelo lado maior) tem maior volume na razão a₁/a₂.
- Dica de eliminação rápida: Eliminar A e B (contêm π no numerador — não é possível pois o π cancela ao calcular πr²h com r = c/(2π)). Focar em C, D e E (com π no denominador). D > E → o volume maior é D.
- Conexões com outros temas: Circunferência, superfície lateral, volume, otimização de embalagens.