Questão 174 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial + Geometria Analítica (projeção ortogonal, planos ortogonais, representação 3D)

⚡ Nível: Difícil — exige visualização espacial 3D e compreensão de projeção ortogonal sobre um plano

🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria Espacial — planos, projeção ortogonal, visualização de figuras 3D

🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

Comando reformulado: Qual é a sombra/projeção da trajetória ABCDEF sobre o plano da base (chão), como se uma luz viesse de cima na direção vertical?

Palavras-chave decisivas: projeção ortogonal, plano da base, trajetória ABCDEF, planos ortogonais

Armadilha típica: Pensar que segmentos em paredes verticais projetam como linhas inclinadas na base, quando na verdade projetam como pontos ou segmentos conforme sua direção horizontal

O que a resposta precisa demonstrar: Projetar cada segmento (AB, BC, CD, DE, EF) sobre a base e reconhecer o padrão no gráfico 2D resultante

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

Projeção ortogonal sobre a base: Todo ponto P = (x, y, z) projeta-se em P' = (x, y, 0). Apenas as coordenadas horizontais (x, y) são mantidas; a altura z é descartada.

Segmento vertical: Se um segmento é puramente vertical (só varia z), sua projeção na base é um único ponto.

Segmento em parede vertical: Se percorrido em uma parede vertical, a projeção na base é um segmento horizontal (paralelo à intersecção da parede com o chão).

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

Evidência 1 (figura): A trajetória começa em A (canto superior direito, voando), desce até B na parede esquerda, percorre B→C na parede esquerda (horizontalmente), voa C→D até a parede direita, desce D→E na parede direita, e por fim E→F no chão (base).

Evidência 2: A, D, E estão em um plano vertical (parede direita); B, C estão no outro plano vertical (parede esquerda). Os dois planos verticais são ortogonais à base.

Síntese: A projeção ortogonal deve mostrar como cada segmento 'se projeta' na base, preservando apenas o deslocamento horizontal (x, y) e ignorando a altura.

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Projetar cada ponto sobre a base

A (canto superior direito, alto) → A' = ponto no canto superior direito da base

B (na parede esquerda, meio da altura) → B' = ponto na borda esquerda da base

C (na parede esquerda, abaixo de B) → C' = ponto na borda esquerda da base, mesmo x que B' (pois BC é vertical na parede)

D (na parede direita, alto) → D' = ponto na borda direita da base, canto superior

E (na parede direita, baixo) → E' = ponto na borda direita da base, canto inferior

F (no chão/base) → F' = F (já está na base, z=0)

Subpasso 4.2 — Projetar cada segmento

A→B: voo diagonal (de A no ar até B na parede esquerda) → projeta como segmento diagonal A'→B'

B→C: percurso na parede esquerda (movimento horizontal na parede) → projeta como ponto ou segmento mínimo em B' (BC está na parede vertical, sem deslocamento horizontal útil)

C→D: voo da parede esquerda até a parede direita → projeta como segmento C'→D'

D→E: descida na parede direita (vertical) → projeta como ponto em D'=E' (sem deslocamento horizontal)

E→F: do chão da parede direita até o ponto F no chão → projeta como segmento E'→F'

Subpasso 4.3 — Identificar o gráfico correto

A projeção da trajetória ABCDEF sobre a base deve mostrar: linha diagonal do canto superior direito até a borda esquerda (A'→B'=C'), linha do meio esquerdo até o canto superior direito (C'→D'), e linha do canto inferior direito até F'. O gráfico C é o único que apresenta esse padrão com as proporções corretas.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) [gráfico: linha simples do canto superior direito ao canto inferior direito — triparâmetro direto]

❌ Incorreta: Mostra apenas uma linha reta diagonal simples, sem refletir as múltiplas direções da trajetória ABCDEF. A projeção deve ter vários segmentos correspondentes aos diferentes trechos do percurso.

B) [gráfico: forma com dois vértices, um à direita e um à esquerda, mais aberta]

❌ Incorreta: As proporções dos segmentos não correspondem às posições dos pontos conforme indicado na figura 3D. O vértice na esquerda está posicionado de forma incompatível com a posição real de B e C na parede.

C) [gráfico: trajetória com vértice à esquerda na altura média, canto superior direito e ponto inferior direito]

✅ Correta: A projeção mostra corretamente: A' no canto superior direito, B'=C' na borda esquerda (altura média), D' no canto superior direito da parede direita, E'=F' no canto inferior direito. As proporções são compatíveis com a figura 3D apresentada.

D) [gráfico: formato similar ao C, mas com vértice esquerdo mais alto]

❌ Incorreta: O vértice correspondente a B'=C' está numa posição vertical diferente da indicada na figura. A altura de B na parede não corresponde ao que é mostrado no gráfico.

E) [gráfico: formato com segmento horizontal no meio e dois segmentos diagonais]

❌ Incorreta: O segmento horizontal no meio sugeriria um deslocamento horizontal puro na base, o que não corresponde a nenhum segmento da trajetória ABCDEF conforme descrita.

🏆 Gabarito: C — Única projeção compatível com as posições dos pontos A, B, C, D, E, F conforme a figura 3D do enunciado.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

Reafirmação do gabarito: A projeção ortogonal 'achata' a trajetória 3D no plano do chão. Pontos em paredes verticais projetam-se nas bordas da base; voos entre paredes projetam como diagonais; descidas verticais projetam como pontos. O gráfico C é o único compatível.

Padrão de cobrança: O ENEM cobra visualização espacial com planos e projeções. A chave é sempre identificar quais coordenadas mudam em cada segmento e manter apenas a componente horizontal.

Generalização: Projeção ortogonal sobre a base = manter apenas (x, y), descartar z. Segmentos verticais (só z muda) viram pontos. Segmentos horizontais mantidos. Segmentos diagonais 3D viram diagonais 2D na base.

Dica de eliminação rápida: Verifique o número de segmentos no gráfico — ABCDEF tem 5 segmentos, mas BC e DE são verticais (projetam como pontos), então a projeção deve ter 3 segmentos distintos. Elimine alternativas com 1, 2 ou 4 segmentos.

Conexões com outros temas: Geometria Espacial, Geometria Analítica (coordenadas 3D), Trigonometria (ângulos de projeção), desenho técnico.