Questão 171 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana — Áreas de Polígonos Regulares e Otimização
- ⚡ Nível: Difícil — calcular e comparar áreas do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular com o mesmo perímetro k
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria — áreas de polígonos regulares e otimização (EM13MAT502)
- 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Com k metros de cerca para delimitar um jardim, qual forma (triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular) produz a maior área?"
- Palavras-chave decisivas: k metros de cerca (perímetro fixo), maior área, triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular
- Armadilha típica: Calcular a área com lado igual a k em vez de k/n (onde n é o número de lados de cada polígono)
- O que a resposta precisa demonstrar: para perímetro fixo k, calcular a área de cada polígono regular e comparar
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Triângulo equilátero com lado l: A_△ = (√3/4) × l²
- Quadrado com lado l: A_□ = l²
- Hexágono regular com lado l: A_⬡ = (3√3/2) × l²
- Perímetro fixo: k = n × l → l = k/n para polígono com n lados
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "k metros de cerca baixa" → perímetro total de cada jardim = k
- Dado 2: triângulo equilátero: 3 lados → l_△ = k/3
- Dado 3: quadrado: 4 lados → l_□ = k/4
- Dado 4: hexágono regular: 6 lados → l_⬡ = k/6
- Síntese: Calcular A de cada forma com l = k/n e comparar
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular área do triângulo equilátero
l_△ = k/3 A_△ = (√3/4) × (k/3)² = (√3/4) × k²/9 = k²√3/36
Subpasso 4.2 — Calcular área do quadrado
l_□ = k/4 A_□ = (k/4)² = k²/16
Subpasso 4.3 — Calcular área do hexágono regular
l_⬡ = k/6 A_⬡ = (3√3/2) × (k/6)² = (3√3/2) × k²/36 = 3√3k²/72 = k²√3/24
Subpasso 4.4 — Comparar as três áreas
Expressando em termos de k²:
A_△ = k²√3/36 ≈ k² × 1,732/36 ≈ 0,0481 k²
A_□ = k²/16 = 0,0625 k²
A_⬡ = k²√3/24 ≈ k² × 1,732/24 ≈ 0,0722 k²
Subpasso 4.5 — Conclusão
A_⬡ > A_□ > A_△
A maior área é o hexágono regular!
A_⬡ = k²√3/24
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será [expressão com k²√3/24] ✅ Correta: hexágono tem maior área com perímetro fixo k, e a área = k²√3/24. Verificado: A_⬡ ≈ 0,072k² > A_□ ≈ 0,063k² > A_△ ≈ 0,048k².
B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será [expressão diferente] ❌ Incorreta: a forma escolhida (hexágono) está correta, mas a expressão da área está errada (diferente de k²√3/24).
C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será [expressão com k²/16] ❌ Incorreta: a área do quadrado (k²/16) é maior que a do triângulo, mas menor que a do hexágono. Erro de não calcular ou comparar o hexágono.
D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será [expressão] ❌ Incorreta: o triângulo tem a menor área entre as três formas para o mesmo perímetro. Erro de cálculo ou comparação.
E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será [outra expressão] ❌ Incorreta: mesmo problema de D — triângulo tem a menor área.
🏆 Gabarito: A — O hexágono regular maximiza a área para perímetro fixo k, com A_⬡ = k²√3/24 ≈ 0,072k² (maior que quadrado ≈ 0,063k² e triângulo ≈ 0,048k²).
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: A é correto: hexágono regular com área k²√3/24, a maior dentre as três opções.
- Padrão de cobrança: O ENEM frequentemente explora o princípio isoperimétrico (área máxima para dado perímetro) comparando polígonos regulares e o círculo.
- Generalização: Para polígonos regulares com mesmo perímetro: quanto maior o número de lados, maior a área. Sequência crescente de áreas: triângulo < quadrado < pentágono < hexágono < ... < círculo. A_n = k²/(4n × tan(π/n)).
- Dica de eliminação rápida: Eliminar D e E imediatamente — triângulo sempre tem a menor área entre as três opções. Entre A e B (ambos hexágono), verificar qual expressão da área está correta: k²√3/24.
- Conexões com outros temas: Polígonos regulares, apótema, área, otimização, limite (círculo como limite dos polígonos regulares).