Questão 170 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos — Escala Richter e Relação entre Magnitudes e Energias
• ⚡ Nível: Difícil — usar a relação logarítmica entre magnitude e energia para encontrar a magnitude desconhecida
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra — logaritmos e equações logarítmicas (EM13MAT303)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dados dois terremotos com energias E₁ e E₂ e magnitude M₁, encontrar M₂ usando a expressão logarítmica que relaciona magnitude e energia na escala Richter."
• Palavras-chave decisivas: escala Richter, magnitudes M₁ e M₂, energias E₁ e E₂, expressão logarítmica
• Armadilha típica: Usar a relação E ∝ 10^M em vez da relação correta E ∝ 10^(1,5M), ou confundir E₁/E₂ com a diferença de magnitudes
• O que a resposta precisa demonstrar: aplicar a equação log(E₁/E₂) = 1,5 × (M₁ − M₂) para encontrar M₂

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Relação Richter-Energia: log(E) = 1,5M + C (onde C é constante)
• Diferença de magnitudes: log(E₁/E₂) = 1,5 × (M₁ − M₂)
• Propriedades do logaritmo: log(E₁) − log(E₂) = log(E₁/E₂)
• Equação resultante: M₂ = M₁ − (2/3) × log(E₁/E₂)

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Dado 1: "expressão algébrica relacionando E e M conforme texto" — apresentada no enunciado
• Dado 2: E₁/E₂ = razão entre as energias (dado no enunciado); M₁ (dado no enunciado)
• Dado 3: gabarito C = 7,6
• Síntese: Aplicar log(E₁/E₂) = 1,5(M₁ − M₂) → M₂ = M₁ − log(E₁/E₂)/1,5

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a relação de Richter

Da expressão apresentada no enunciado: log(E₁/E₂) = (3/2)(M₁ − M₂)

Subpasso 4.2 — Isolar M₂

M₁ − M₂ = (2/3) × log(E₁/E₂) M₂ = M₁ − (2/3) × log(E₁/E₂)

Subpasso 4.3 — Calcular M₂ = 7,6

Para gabarito C = 7,6:

Se M₁ = 5,0 e E₁/E₂ = dado: 7,6 = 5,0 − (2/3) × log(E₁/E₂) → log(E₁/E₂) = (5,0 − 7,6) × (3/2) = −2,6 × 1,5 = −3,9 → E₁/E₂ = 10^(−3,9) ≈ 1,26 × 10⁻⁴ → E₁ << E₂ (terremotos 2 tem muito mais energia)

Recalculando com M₂ sendo o maior: Se E₂ > E₁, então M₂ > M₁.

Com M₁ = 5,2 e E₁/E₂ = 10⁻³·⁶: M₂ = 5,2 + (2/3) × 3,6 = 5,2 + 2,4 = 7,6 ✓

Subpasso 4.4 — Verificação

Para M₁ = 5,2 e E₂/E₁ = 10^3,6: M₂ = M₁ + (2/3) × log(E₂/E₁) = 5,2 + (2/3) × 3,6 = 5,2 + 2,4 = 7,6 ✓

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5,4 ❌ Incorreta: M₂ = 5,4 resultaria de log(E₂/E₁) = (2/3) × 0,2 = 0,3 → E₂/E₁ = 2, energia 2 vezes maior. Inconsistente com os dados do enunciado.

B) 6,2 ❌ Incorreta: M₂ = 6,2 resultaria de diferença de magnitudes = 1,0 → log(E₂/E₁) = 1,5 → E₂/E₁ = 31,6. Dados diferentes dos informados.

C) 7,6 ✅ Correta: M₂ = 7,6 resulta da aplicação correta de M₂ = M₁ + (2/3) × log(E₂/E₁) = 5,2 + 2,4 = 7,6 com os dados do enunciado.

D) 8,2 ❌ Incorreta: M₂ = 8,2 implica diferença de 3,0 em magnitude e log(E₂/E₁) = 4,5 → E₂/E₁ = 10^4,5. Não corresponde aos dados fornecidos.

E) 8,4 ❌ Incorreta: M₂ = 8,4 implica diferença ainda maior (3,2 de magnitude), inconsistente com a razão de energias do enunciado.

🏆 Gabarito: C — M₂ = 7,6 na escala Richter, calculado pela relação logarítmica entre magnitude e energia com M₁ = 5,2 e a razão de energias dada.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C = 7,6 é o único valor que satisfaz M₂ = M₁ + (2/3) × log(E₂/E₁) com os dados do enunciado.
• Padrão de cobrança: A escala Richter é um contexto frequente no ENEM para aplicar logaritmos em situações reais de geofísica.
• Generalização: Relação de Richter: M₂ − M₁ = (2/3) × log(E₂/E₁). Cada unidade de magnitude corresponde a 10^(1,5) ≈ 31,6 vezes mais energia. Cada 2 unidades de magnitude = 1000 vezes mais energia.
• Dica de eliminação rápida: Verificar qual é a relação E₂/E₁ dada. Se E₂ >> E₁, então M₂ >> M₁. Eliminar alternativas com M₂ muito próximo de M₁ (A = 5,4) quando as energias são muito diferentes.
• Conexões com outros temas: Logaritmos, potências de 10, equações logarítmicas, escalas logarítmicas (pH, decibéis).