Questão 169 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.
Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa è dada por
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade Condicional + Contagem (princípio multiplicativo)
⚡ Nível: Médio — exige identificar o número de possibilidades em cada tentativa e aplicar a regra do produto para probabilidades condicionais
🎯 Tema/Habilidade BNCC: Probabilidade — eventos dependentes, probabilidade condicional, princípio multiplicativo
🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
Comando reformulado: Qual é a probabilidade de descobrir a cifra EXATAMENTE na 3ª tentativa, sabendo que erros anteriores são eliminados das tentativas seguintes?
Palavras-chave decisivas: apenas na terceira tentativa, tentativa frustrada deverá ser eliminada, 26 letras
Armadilha típica: Usar 26 possibilidades no denominador em vez de 25. O enunciado afirma que a cifra é definida pela letra que substitui o 'A' — e o 'A' não pode substituir a si mesmo em uma cifra de substituição, portanto há 25 possibilidades (ou usar todas as 26 e calcular P(acertar na 1ª) = 1/26 — depende da interpretação).
O que a resposta precisa demonstrar: P(errar 1ª) × P(errar 2ª | errou 1ª) × P(acertar 3ª | errou 1ª e 2ª)
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
Cifra de César: O padrão é definido por uma única informação — a letra que substitui o 'A'. Num alfabeto de 26 letras, o 'A' pode ser substituído por qualquer das outras 25 letras (25 possibilidades).
Probabilidade condicional sem reposição: Quando tentativas erradas são eliminadas, o espaço amostral reduz a cada tentativa. Após k tentativas fracassadas, restam (25 − k) possibilidades.
P(acertar APENAS na k-ésima tentativa) = P(errar 1ª) × P(errar 2ª|errou 1ª) × ... × P(acertar k-ésima|errou anteriores)
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
Evidência 1: "alfabeto de 26 letras" → 25 possíveis substituições para o 'A' (as outras 25 letras)
Evidência 2: "tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes" → sem reposição; o espaço amostral decresce
Evidência 3: "apenas na terceira tentativa" → deve ERRAR nas tentativas 1 e 2, e ACERTAR na tentativa 3
Síntese: P = P(errar 1ª) × P(errar 2ª | errou 1ª) × P(acertar 3ª | errou 1ª e 2ª) = (24/25) × (23/24) × (1/23)
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Contar as possibilidades
O padrão da cifra é definido por qual letra substitui o 'A'. Num alfabeto de 26 letras, o 'A' pode ser substituído por qualquer das outras 25 letras.
Total de possibilidades: 25 cifras diferentes.
Subpasso 4.2 — Calcular cada probabilidade condicional
1ª tentativa: 25 possibilidades, 1 correta, 24 erradas. P(errar) = 24/25.
2ª tentativa (dado que a 1ª foi eliminada): 24 possibilidades restantes, 1 correta, 23 erradas. P(errar) = 23/24.
3ª tentativa (dado que 1ª e 2ª foram eliminadas): 23 possibilidades restantes, 1 correta. P(acertar) = 1/23.
Subpasso 4.3 — Aplicar o princípio multiplicativo
P(acertar APENAS na 3ª tentativa) = (24/25) × (23/24) × (1/23)
Subpasso 4.4 — Verificação por simplificação
Simplificando: (24/25) × (23/24) × (1/23) = 24 × 23 × 1 / (25 × 24 × 23) = 1/25.
Confirmação intuitiva: A probabilidade de acertar exatamente na k-ésima tentativa (sem reposição) é sempre 1/25 (ou 1/n) para k = 1, 2, ..., 25. Isso é a distribuição uniforme em permutações sem reposição.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) [imagem: 1/25 + 1/25 + 1/25]
❌ Incorreta: Usa adição em vez de multiplicação, e não considera a redução do espaço amostral. Além disso, seria a probabilidade de acertar em qualquer uma das três tentativas independentemente, não a probabilidade condicional de acertar APENAS na terceira.
B) [imagem: 24/25 + 23/24 + 1/23]
❌ Incorreta: Usa as frações corretas (24/25, 23/24 e 1/23) mas as SOMA em vez de multiplicá-las. Probabilidade de eventos dependentes em sequência = produto, não soma.
C) [imagem: (1/25) × (1/24) × (1/23)]
❌ Incorreta: Usa multiplicação (correto) mas os numeradores estão errados. Esta expressão seria a probabilidade de acertar nas três primeiras tentativas consecutivas, não de acertar APENAS na terceira.
D) [imagem: (24/25) × (23/25) × (1/25)]
❌ Incorreta: Os denominadores usam sempre 25, como se o espaço amostral não reduzisse após cada tentativa eliminada. Mas o enunciado afirma que tentativas frustradas são eliminadas — o espaço diminui de 25 para 24 para 23.
E) [imagem: (24/25) × (23/24) × (1/23)]
✅ Correta: Cada fator representa uma etapa: P(errar 1ª) = 24/25; P(errar 2ª | errou 1ª) = 23/24; P(acertar 3ª | errou 1ª e 2ª) = 1/23. O produto (24/25)(23/24)(1/23) = 1/25 é a probabilidade correta.
🏆 Gabarito: E — P = (24/25) × (23/24) × (1/23) = 1/25.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
Reafirmação do gabarito: Com 25 possibilidades e eliminação dos erros, a probabilidade de acertar exatamente na 3ª tentativa é (24/25)(23/24)(1/23) = 1/25. Curiosamente, é a mesma probabilidade de qualquer posição (1ª até 25ª).
Padrão de cobrança: O ENEM frequentemente combina contexto tecnológico/histórico com probabilidade condicional. A chave é identificar se as tentativas são com ou sem reposição.
Generalização: P(acertar exatamente na k-ésima tentativa, sem reposição, com n possibilidades) = [(n-1)/n] × [(n-2)/(n-1)] × ... × [1/(n-k+1)] = 1/n. A probabilidade é a mesma para todas as posições!
Dica de eliminação rápida: Elimine A (soma de frações iguais — ignora condicionalidade). Elimine B (soma em vez de produto). Elimine C (acerta nas 3 primeiras — não APENAS na 3ª). Elimine D (denominadores não diminuem). Sobra E.
Conexões com outros temas: Probabilidade sem reposição (arranjos), criptografia moderna (CIÃNCIA DA COMPUTAÇÃO), permutações, princípio multiplicativo.