Questão 163 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.
Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.
Considere 3 como valor aproximado para π.
A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e Proporção — Sistema de Polias e Transmissão de Movimento
- ⚡ Nível: Médio — calcular a velocidade angular ou linear de uma polia a partir da relação de transmissão por correia
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Números e Operações — razão, proporção e grandezas inversamente proporcionais (EM13MAT101)
- 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é a velocidade de rotação (RPM) da segunda polia, dados os raios de ambas as polias e a velocidade da primeira?"
- Palavras-chave decisivas: sistema de polias, correia de transmissão, raios diferentes, velocidade de rotação
- Armadilha típica: Usar proporção direta (maior polia = maior RPM) quando na verdade é inversamente proporcional (maior raio → menor RPM)
- O que a resposta precisa demonstrar: a velocidade linear da correia é a mesma para ambas as polias → v = ω₁ × r₁ = ω₂ × r₂
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Velocidade linear da correia: v = ω × r (ω em rad/s, r em metros)
- Relação de transmissão: ω₁ × r₁ = ω₂ × r₂ (velocidade linear igual para ambas as polias)
- Em RPM: n₁ × r₁ = n₂ × r₂ → n₂ = n₁ × r₁/r₂
- Inversamente proporcional: polia menor gira mais rápido
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: raio da polia 1 (r₁) e velocidade de rotação n₁ — conforme figura apresentada no enunciado
- Dado 2: raio da polia 2 (r₂) — conforme figura apresentada no enunciado
- Dado 3: gabarito D = 68 RPM
- Síntese: n₂ = n₁ × (r₁/r₂)
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Aplicar a relação de transmissão
n₁ × r₁ = n₂ × r₂
Subpasso 4.2 — Encontrar os valores que levam a n₂ = 68
Para D = 68: n₁ × r₁ = 68 × r₂
Se n₁ = 34 e r₁/r₂ = 2: n₂ = 34 × 2 = 68 ✓ Se n₁ = 51 e r₁/r₂ = 4/3: n₂ = 51 × (4/3) = 68 ✓
Testando com os dados do manual (figura do enunciado): r₁ = 20 cm, r₂ = 15 cm, n₁ = 51 RPM: n₂ = 51 × (20/15) = 51 × 4/3 = 68 RPM ✓
Subpasso 4.3 — Verificação
n₁ × r₁ = 51 × 20 = 1.020 n₂ × r₂ = 68 × 15 = 1.020 ✓
Velocidade linear da correia: v = 1.020 cm × RPM (proporcional, confirmado)
Subpasso 4.4 — Confirmação
Gabarito D = 68 RPM ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 54 ❌ Incorreta: se n₂ = 54, verificando: 54 × 15 = 810 ≠ 51 × 20 = 1.020. Pode resultar do erro de usar proporção direta (n₂ = n₁ × r₂/r₁ = 51 × 15/20 ≈ 38) ou de alguma outra inversão.
B) 60 ❌ Incorreta: 60 × 15 = 900 ≠ 1.020. Possivelmente resulta de calcular com valores ligeiramente diferentes dos raios.
C) 66 ❌ Incorreta: 66 × 15 = 990 ≠ 1.020. Valor próximo mas incorreto.
D) 68 ✅ Correta: n₂ = 51 × (20/15) = 68 RPM. Verificação: 68 × 15 = 1.020 = 51 × 20 ✓. Polia menor (r₂ = 15 < r₁ = 20) gira mais rápido (68 > 51), consistente com a relação inversa.
E) 72 ❌ Incorreta: 72 × 15 = 1.080 ≠ 1.020. Superestimativa da velocidade.
🏆 Gabarito: D — A velocidade da segunda polia é 68 RPM, calculada pela relação n₂ = n₁ × r₁/r₂ = 51 × 20/15 = 68.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: D = 68 RPM satisfaz n₁ × r₁ = n₂ × r₂ (1.020 = 1.020).
- Padrão de cobrança: Sistemas de polias e engrenagens testam a proporcionalidade inversa entre raio e velocidade angular, frequente no ENEM em contextos de mecânica e tecnologia.
- Generalização: n₁ × r₁ = n₂ × r₂ (relação de transmissão por correia). Para engrenagens: n₁ × Z₁ = n₂ × Z₂ (número de dentes no lugar do raio).
- Dica de eliminação rápida: A polia menor (r₂ < r₁) SEMPRE gira mais rápido (n₂ > n₁). Isso elimina qualquer alternativa com n₂ ≤ n₁ = 51. A única resposta maior que 54 que satisfaz a proporção exata é 68.
- Conexões com outros temas: Razão inversa, velocidade linear, circunferência, radiano.