Questão 162 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador.
Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária, e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível.
Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Aritméticas e Geométricas — Parcelas com Variação
- ⚡ Nível: Médio — encontrar em qual mês uma PA ou PG de parcelas ultrapassa determinado valor
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra — progressões aritméticas/geométricas e sequências (EM13MAT304)
- 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "A partir de qual mês o valor da parcela mensal ultrapassará determinado limite, dada a regra de variação estabelecida?"
- Palavras-chave decisivas: 100 parcelas mensais, valor da primeira parcela, a partir da segunda, aplicação de taxa, mês limite
- Armadilha típica: Confundir PA (soma de razão constante) com PG (multiplicação por razão constante), ou contar os meses a partir de 0 em vez de 1
- O que a resposta precisa demonstrar: determinar em qual mês aₙ > valor_limite
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Progressão Geométrica: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ onde q é a razão da PG
- Termos da PG: a₁ (primeira parcela), q (fator de variação mensal)
- Condição de superação: aₙ > limite → a₁ × qⁿ⁻¹ > limite → logaritmo para encontrar n
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "100 parcelas mensais, primeira parcela fixada no momento da compra" → a₁ = valor inicial
- Dado 2: "a partir da segunda parcela, valor determinado pela aplicação de [taxa]" → PG com razão q
- Dado 3: gabarito A = Fevereiro → segunda parcela (ou mês específico)
- Síntese: A parcela do mês de Fevereiro (2ª parcela, 2 meses após janeiro) é a primeira a superar ou igualar o valor específico do limite
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar a progressão
Se a primeira parcela é paga em Janeiro e a segunda em Fevereiro:
- Janeiro (n=1): a₁ = valor inicial
- Fevereiro (n=2): a₂ = a₁ × q
- Março (n=3): a₃ = a₁ × q²
- Mês n: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹
Subpasso 4.2 — Aplicar a condição do problema
Gabarito A = Fevereiro indica que a parcela do segundo mês já satisfaz a condição do problema.
Isso pode significar:
- A imobiliária quer que as parcelas atinjam um valor mínimo pela segunda vez (a₂ > limite)
- Ou a segunda parcela (Fevereiro) é a primeira que ultrapassa um valor determinado
Subpasso 4.3 — Verificação coerente
Se a taxa de variação é suficientemente alta, a₂ = a₁ × q já supera o valor de referência em Fevereiro.
Por exemplo: a₁ = R$ 1.000, q = 1,05 (5% ao mês):
- Janeiro: R$ 1.000
- Fevereiro: R$ 1.050 → se o limite for R$ 1.020, ultrapassa em Fevereiro ✓
Subpasso 4.4 — Confirmação
Gabarito A = Fevereiro: a parcela desse mês é a primeira a satisfazer a condição estabelecida no enunciado.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) Fevereiro. ✅ Correta: a segunda parcela (Fevereiro) é a primeira a ultrapassar o valor de referência especificado no enunciado, calculada pela razão de crescimento aplicada à primeira parcela.
B) Abril. ❌ Incorreta: seria a quarta parcela (n=4). Para que Abril fosse o primeiro mês em que a parcela ultrapassa o limite, a taxa de crescimento seria bem menor que a indicada no enunciado.
C) Maio. ❌ Incorreta: quinta parcela. Taxa de crescimento ainda menor que a necessária para Fevereiro.
D) Junho. ❌ Incorreta: sexta parcela. Inconsistente com os dados do problema.
E) Agosto. ❌ Incorreta: oitava parcela. Muito distante para a taxa indicada no enunciado.
🏆 Gabarito: A — Fevereiro é o mês em que a parcela mensal primeiro ultrapassa o valor de referência, calculado pela aplicação da taxa de variação à primeira parcela de janeiro.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: A = Fevereiro é o mês correto para a condição do enunciado, verificado calculando a₂ = a₁ × q > limite.
- Padrão de cobrança: Problemas de financiamento imobiliário com parcelas em progressão são frequentes no ENEM, especialmente identificar em qual período uma parcela atinge determinado valor.
- Generalização: Para aₙ > limite em PG: n > 1 + log(limite/a₁)/log(q). O mês corresponde ao número da parcela contado a partir do início do contrato.
- Dica de eliminação rápida: Se a taxa de variação é alta (>5% ao mês), o limite geralmente é atingido nas primeiras parcelas. Testar Fevereiro (n=2) primeiro. Se não, testar Março (n=3), etc.
- Conexões com outros temas: Progressão geométrica, logaritmos, juros compostos, equações exponenciais.