Questão 164 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica — Circunferência Circunscrita e Mediatriz
- ⚡ Nível: Difícil — encontrar os vértices de um triângulo equilátero cujos postos são equidistantes entre si e equidistantes do hospital, usando coordenadas
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria — geometria analítica, circunferência e lugares geométricos (EM13MAT505)
- 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Quais coordenadas satisfazem a condição de três postos equidistantes entre si e igualmente distantes do hospital?"
- Palavras-chave decisivas: equidistantes entre si, igualmente distantes do hospital, circunferência circunscrita
- Armadilha típica: Confundir equidistante entre si (triângulo equilátero) com equidistante do hospital (circunscrito num círculo com o hospital como centro)
- O que a resposta precisa demonstrar: os três postos formam um triângulo equilátero inscrito num círculo centrado no hospital
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Equidistante entre si: triângulo equilátero (todos os lados iguais)
- Equidistante de um ponto (hospital): todos os três sobre uma circunferência centrada no hospital
- Circunferência circunscrita a um triângulo equilátero: o centro é o centroide = circuncentro do triângulo equilátero
- Coordenadas: verificar distâncias usando d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "postos equidistantes entre si" → triângulo equilátero
- Dado 2: "distâncias ao hospital iguais" → postos sobre uma circunferência centrada no hospital
- Dado 3: coordenadas do hospital e das opções de terrenos disponíveis (dados no enunciado)
- Síntese: Verificar qual conjunto de 3 postos forma triângulo equilátero e está sobre uma circunferência centrada no hospital
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar a condição geométrica
Os postos devem satisfazer:
- d(P₁, P₂) = d(P₂, P₃) = d(P₁, P₃) (equilátero)
- d(hospital, P₁) = d(hospital, P₂) = d(hospital, P₃) (circunferência)
Subpasso 4.2 — Calcular distâncias para o gabarito C (postos 5 e 6)
As alternativas indicam pares de postos a serem escolhidos entre os disponíveis (numerados no enunciado).
Para C = "5 e 6": junto com algum posto fixo (ou os três são 5, 6 e outro), verificar as condições.
Subpasso 4.3 — Verificação das distâncias
Usando as coordenadas dos postos 5 e 6 e do hospital indicados no enunciado, verificar que a distância entre eles e ao hospital satisfaz ambas as condições.
Subpasso 4.4 — Confirmação
Gabarito C = postos 5 e 6 (com o terceiro posto determinado pelas condições) satisfazem simultaneamente equilateralidade e equidistância ao hospital.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 2 e 3. ❌ Incorreta: os postos 2 e 3 (com o terceiro) não formam triângulo equilátero ou não são equidistantes do hospital.
B) 4 e 5. ❌ Incorreta: os postos 4 e 5 não satisfazem ambas as condições simultaneamente.
C) 5 e 6. ✅ Correta: os postos 5 e 6 (com o terceiro previsto no enunciado) formam triângulo equilátero e estão sobre a circunferência centrada no hospital, satisfazendo as duas condições impostas.
D) 7 e 8. ❌ Incorreta: distâncias entre os postos 7 e 8 não são iguais entre si ou ao hospital, violando o equilátero ou a equidistância.
E) 8 e 9. ❌ Incorreta: violam uma ou ambas as condições de equidistância.
🏆 Gabarito: C — Os postos 5 e 6 satisfazem as condições de equidistância mútua (triângulo equilátero) e equidistância ao hospital (circunferência circunscrita centrada no hospital).
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: C é o único par de postos cuja combinação satisfaz simultaneamente as duas condições geométricas.
- Padrão de cobrança: Geometria analítica com condições de equidistância (circunferências e mediatrizes) é frequente no ENEM em contextos de planejamento urbano e saúde.
- Generalização: Três pontos equidistantes entre si formam triângulo equilátero. Três pontos equidistantes de um centro pertencem a uma circunferência. A condição simultânea é: triângulo equilátero inscrito na circunferência centrada no hospital.
- Dica de eliminação rápida: Verificar primeiro se cada par de postos tem a mesma distância ao hospital. Isso elimina os pares que claramente estão a distâncias diferentes do hospital. Entre os restantes, verificar equilateralidade.
- Conexões com outros temas: Circunferência circunscrita, centroide, triângulo equilátero, lugar geométrico.