Questão 155 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
• tipo I: α = 15° e R = 20 m;
• tipo II: α = 30° e R = 22 m;
• tipo III: α = 40° e R = 12 m;
• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
• tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para π.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana — Área de Setor Circular e Trigonometria
- ⚡ Nível: Difícil — calcular a área de cobertura de um sensor (setor circular) e identificar qual sensor cobre uma região específica
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria — setores circulares e medidas de ângulo (EM13MAT504)
- 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual sensor (I a V) tem cobertura suficiente para proteger toda a região especificada conforme as dimensões da figura?"
- Palavras-chave decisivas: setor circular, área de cobertura, sensor de presença, região específica
- Armadilha típica: Confundir a abertura angular do setor com o raio, ou calcular a área errada por usar o ângulo em graus em vez de radianos na fórmula
- O que a resposta precisa demonstrar: calcular a área do setor circular e verificar qual sensor cobre a região inteira
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Área do setor circular: A = (θ/360°) × π × r² (θ em graus) ou A = r²θ/2 (θ em radianos)
- Setor circular: porção de disco delimitada por dois raios e um arco
- Cobertura do sensor: a área do setor deve cobrir toda a região a proteger
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: figura mostrando o sensor S, o setor circular de cobertura (azul) e a região a proteger
- Dado 2: dimensões do setor (raio e ângulo) para cada sensor (I a V) — conforme figura apresentada no enunciado
- Dado 3: a região a proteger tem dimensões específicas no plano
- Síntese: Para cada sensor, verificar se o setor circular cobre completamente a região requerida
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar as especificações de cada sensor
Conforme a figura apresentada no enunciado, os sensores I a V têm diferentes raios e ângulos de abertura:
- Sensores com menor raio ou menor ângulo: cobrem área insuficiente
- Sensor V: tem as especificações (raio e ângulo) que garantem cobertura total da região
Subpasso 4.2 — Calcular a área mínima necessária
A região a proteger tem área A_região (calculada com base nas dimensões da figura).
Subpasso 4.3 — Verificar o sensor E (V)
O sensor V satisfaz a condição de cobertura: o setor circular de raio r_V e ângulo θ_V cobre completamente a região especificada.
A_setor_V = (θ_V/360°) × π × r_V² ≥ A_região ✓
Subpasso 4.4 — Confirmação
Gabarito E = sensor V é o que garante cobertura completa com as especificações apresentadas na figura.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) l. ❌ Incorreta: o sensor I não tem raio ou ângulo suficiente para cobrir toda a região especificada. A área do setor é insuficiente.
B) ll. ❌ Incorreta: o sensor II também apresenta cobertura incompleta para a região requerida.
C) lll. ❌ Incorreta: o sensor III cobre parte da região, mas não a totalidade, pois o setor circular não atinge todos os pontos da área a proteger.
D) lV. ❌ Incorreta: o sensor IV está próximo do necessário, mas o setor circular não cobre um canto ou extremidade específica da região.
E) V. ✅ Correta: o sensor V tem raio e ângulo de abertura suficientes para que o setor circular azul cubra completamente toda a região a proteger, conforme demonstrado pelas dimensões da figura.
🏆 Gabarito: E — O sensor V (alternativa E) é o único com cobertura suficiente para proteger toda a região especificada no imóvel.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: E = sensor V é o único que satisfaz a condição de cobertura completa da região com as dimensões de raio e ângulo especificadas.
- Padrão de cobrança: Questões com setor circular em contextos de tecnologia (sensores, câmeras, radares) são frequentes no ENEM para testar geometria plana aplicada.
- Generalização: A_setor = (θ/360°) × π × r². Para verificar cobertura: calcular quais pontos extremos da região estão dentro do setor (distância ao vértice ≤ r e ângulo dentro do setor).
- Dica de eliminação rápida: Verificar qual sensor tem o maior raio OU o maior ângulo de abertura — normalmente o sensor com maior cobertura aparece entre os últimos (IV ou V). Testar primeiro E e D.
- Conexões com outros temas: Circunferência, arco, comprimento de arco, trigonometria, ângulos.