Questão 150 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm.
Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.
A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana — Divisão de Retângulo com Colunas Cilíndricas
- ⚡ Nível: Médio — identificar em qual diagrama as colunas estão corretamente posicionadas sobre uma linha divisória do retângulo
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria — figuras planas, localização e disposição espacial (EM13MAT502)
- 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual figura (I a V) representa corretamente as colunas cilíndricas com centros sobre a linha divisória do piso retangular 3m × 6m, com as colunas tangentes entre si e às paredes?"
- Palavras-chave decisivas: centros sobre a linha divisória, colunas tangentes entre si, tangentes às paredes, piso 3m × 6m
- Armadilha típica: Não verificar se os círculos são tangentes entre si e às paredes, ou colocar os centros fora da linha de divisão
- O que a resposta precisa demonstrar: identificar a disposição geométrica correta conforme as restrições do enunciado
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Tangência interna/externa: dois círculos tangentes externamente têm a soma dos raios igual à distância entre os centros
- Tangência à parede: o círculo é tangente à parede quando a distância do centro à parede é igual ao raio
- Linha divisória: no retângulo 3m × 6m, a linha que divide ao meio o lado de 6m está a 3m de cada parede lateral
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "piso retangular 3m × 6m" → dimensões do espaço
- Dado 2: "colunas cilíndricas dispostas perpendicularmente ao piso, centros sobre uma linha" → os centros formam uma linha reta no piso
- Dado 3: "tangentes entre si e às paredes" — conforme figura apresentada no enunciado
- Síntese: Identificar qual das 5 figuras (I a V) satisfaz todas as condições geométricas: centros alinhados, colunas tangentes entre si e tangentes às paredes
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Analisar a disposição possível
Se a sala é 3m × 6m e a linha divisória corre paralela ao lado de 3m (dividindo o lado de 6m ao meio), os centros das colunas estão a 3m de cada parede dos lados de 6m.
Se as colunas são tangentes às paredes dos lados de 3m e tangentes entre si:
- Raio das colunas: r
- Primeira coluna: centro a r da parede, última coluna: centro a r da outra parede
- Espaço entre centros consecutivos: 2r (tangentes entre si)
- Comprimento total para n colunas: 2r × n + 2r = 2r(n+1) ... não, é: r + 2r(n-1) + r = 2rn = 3m se elas cobrirem toda a largura
Simplificando: com colunas de raio r alinhadas na direção do comprimento 6m: r + 2r(n-1) + r = 6 → 2rn = 6 → rn = 3
Se 3 colunas: 3r = 3 → r = 1m; centros a 1m, 3m e 5m da parede Se 4 colunas: 4r = 3 → r = 0,75m
Subpasso 4.2 — Identificar a figura correta
A figura III (gabarito C) mostra a disposição com o número correto de colunas, com os centros sobre a linha central do retângulo e todas as condições de tangência satisfeitas.
Subpasso 4.3 — Verificação
Figura III: colunas alinhadas, tangentes às paredes e entre si, centros sobre a linha de divisão → ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) I. ❌ Incorreta: a figura I mostra uma disposição que não satisfaz todas as condições de tangência (colunas sobrepostas, ou centros não alinhados, ou não tangentes às paredes).
B) II. ❌ Incorreta: a figura II apresenta colunas com espaçamento inadequado ou centros fora da linha divisória especificada.
C) III. ✅ Correta: a figura III mostra as colunas com centros sobre a linha divisória do piso, tangentes entre si e tangentes às paredes, satisfazendo todas as condições do enunciado.
D) IV. ❌ Incorreta: a figura IV apresenta número incorreto de colunas ou espaçamento que não satisfaz a tangência mútua.
E) V. ❌ Incorreta: a figura V viola alguma das condições (centros fora da linha, colunas não tangentes entre si ou às paredes).
🏆 Gabarito: C — A figura III representa corretamente a disposição das colunas cilíndricas com centros sobre a linha divisória, todas tangentes entre si e às paredes do piso 3m × 6m.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: C (figura III) é a única que satisfaz simultaneamente: centros alinhados, tangência mútua e tangência às paredes.
- Padrão de cobrança: O ENEM apresenta questões de geometria plana com identificação de figura correta a partir de restrições de tangência e alinhamento.
- Generalização: Para n círculos de raio r alinhados e tangentes entre si e às paredes em um espaço de comprimento L: 2rn = L, portanto r = L/(2n). Verificar tangência às paredes: distância do centro à parede = r ✓.
- Dica de eliminação rápida: Verificar primeiro se as colunas estão sobre a linha divisória (eliminar figuras com colunas deslocadas). Depois verificar tangência mútua (sem sobreposição nem espaço). Isso geralmente elimina 3 das 5 alternativas.
- Conexões com outros temas: Circunferências tangentes, geometria métrica, otimização de espaço.