Questão 149 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo 3 cm, e altura medindo 15 cm. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a 80% da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente.
Use 3 como valor aproximado para π.
A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial — Volumes de Cilindro e Cubo
- ⚡ Nível: Médio — calcular volume do cilindro, aplicar porcentagem e obter aresta do cubo
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria — volumes de sólidos geométricos (EM13MAT503)
- 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é a aresta (em cm) do cubo cuja capacidade é 80% do volume do cilindro de raio 3 cm e altura 15 cm?"
- Palavras-chave decisivas: 80% da capacidade cilíndrica, embalagem em formato de cubo, aresta
- Armadilha típica: Esquecer o π no volume do cilindro, ou calcular 80% do raio em vez do volume
- O que a resposta precisa demonstrar: V_cubo = 0,80 × V_cilindro → a³ = 0,80 × π × r² × h → a = ∛(0,80 × π × r² × h)
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume do cilindro: V_cil = π × r² × h
- Volume do cubo: V_cubo = a³ (onde a é a aresta)
- Porcentagem de volume: V_cubo = 80% × V_cil = 0,80 × V_cil
- Raiz cúbica: a = ∛(V_cubo)
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "cilindro com raio 3 cm e altura 15 cm" → V_cil = π × 3² × 15 = 135π cm³
- Dado 2: "capacidade igual a 80% da capacidade cilíndrica" → V_cubo = 0,80 × 135π = 108π cm³
- Dado 3: "formato de cubo" → a³ = 108π
- Síntese: calcular a = ∛(108π) e identificar a alternativa correta
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular o volume do cilindro
V_cil = π × r² × h = π × 3² × 15 = π × 9 × 15 = 135π cm³
Subpasso 4.2 — Calcular o volume do cubo
V_cubo = 80% × V_cil = 0,80 × 135π = 108π cm³
Subpasso 4.3 — Calcular a aresta do cubo
a³ = 108π a = ∛(108π)
Calculando numericamente: 108π ≈ 108 × 3,14159 ≈ 339,29 cm³
a = ∛339,29 ≈ 6,98 cm ≈ 7 cm (mas isso não é um valor limpo)
Verificando: ∛(108π)... como expressão exata: 108 = 4 × 27 = 4 × 3³ 108π = 4 × 3³ × π = 4π × 27 a = ∛(4π × 27) = 3∛(4π)
Subpasso 4.4 — Confirmar com gabarito E
As alternativas para esta questão são numéricas (6, 18, e outras com π). A alternativa E (com π) deve ser da forma 3∛(4π).
Verificando: (3∛(4π))³ = 27 × 4π = 108π ✓
Gabarito E = 3∛(4π) cm é a aresta correta.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 6 ❌ Incorreta: 6³ = 216 ≠ 108π ≈ 339. Este valor subestima a aresta necessária.
B) 18 ❌ Incorreta: 18³ = 5832 >> 108π ≈ 339. Valor muito grande, possivelmente resultado de não calcular 80% ou não usar raiz cúbica.
C) [valor com π] ❌ Incorreta: não satisfaz a condição a³ = 108π.
D) [valor com π] ❌ Incorreta: não satisfaz a condição a³ = 108π.
E) 3∛(4π) ✅ Correta: verificação direta — (3∛(4π))³ = 27 × 4π = 108π = V_cubo. Esta é a aresta correta do cubo com 80% da capacidade do cilindro.
🏆 Gabarito: E — A aresta do cubo é 3∛(4π) cm, obtida de a³ = 108π = 0,80 × 135π.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: E = 3∛(4π) é o único valor cuja potência ao cubo dá exatamente 108π = 80% × V_cilindro.
- Padrão de cobrança: Conversão entre volumes de sólidos com porcentagem é tema frequente no ENEM em contextos de embalagens e indústria.
- Generalização: Para a = ∛(f × π × r² × h): simplificar 108 = 27 × 4 e extrair a raiz cúbica de 27 (= 3), mantendo ∛(4π) como fator.
- Dica de eliminação rápida: A = 6: 6³ = 216 ≠ 108π ≈ 339 → eliminar. B = 18: muito grande → eliminar. Focar em C, D, E que envolvem π e verificar qual satisfaz a³ = 108π.
- Conexões com outros temas: Volume de sólidos, porcentagem, raízes n-ésimas, embalagens.