Questão 148 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções Exponenciais e Logarítmicas
• ⚡ Nível: Difícil — identificar os parâmetros a e b de uma função exponencial T(t) = a + 80·bᵗ a partir de informações do gráfico
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra — funções exponenciais, logaritmos e modelagem (EM13MAT303)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quais são os valores de a e b na função T(t) = a + 80·bᵗ que modela o resfriamento da caneca, conforme o gráfico?"
• Palavras-chave decisivas: T(t) = a + 80bᵗ, temperatura inicial (fervendo), temperatura ambiente, gráfico
• Armadilha típica: Confundir o valor de a com a temperatura inicial total, em vez de identificar que a é a temperatura ambiente (assíntota horizontal)
• O que a resposta precisa demonstrar: usar T(0) e a assíntota horizontal do gráfico para determinar a e b

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial de resfriamento: T(t) = a + A·bᵗ onde a é a temperatura ambiente (assíntota), A é a diferença inicial e b é a base (0 < b < 1 para resfriamento)
• Condição inicial: T(0) = a + 80·b⁰ = a + 80 = temperatura inicial
• Assíntota horizontal: quando t → ∞, bᵗ → 0, portanto T → a (temperatura ambiente)
• Ponto intermediário: usar o gráfico para encontrar b

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Dado 1: "caneca com água fervendo retirada do micro-ondas" → T(0) = 100°C
• Dado 2: gráfico apresentado no enunciado mostra que a temperatura estabiliza em 20°C → assíntota = 20°C = a
• Dado 3: em t = 10 minutos, a temperatura cai à metade da diferença inicial → leitura do gráfico
• Síntese: a = 20 (temperatura ambiente), T(0) = 20 + 80 = 100°C ✓; encontrar b pelo ponto do gráfico

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a

Quando t → ∞, a função se aproxima de a (temperatura ambiente). Pelo gráfico, a temperatura ambiente é 20°C. → a = 20

Subpasso 4.2 — Verificar a condição inicial

T(0) = 20 + 80·b⁰ = 20 + 80·1 = 20 + 80 = 100°C ✓ Isso confirma que a água estava fervendo a 100°C ao sair do micro-ondas.

Subpasso 4.3 — Determinar b usando o gráfico

Pelo gráfico, em t = 10 minutos, a temperatura T(10) = 60°C (ponto de leitura no gráfico):

T(10) = 20 + 80·b¹⁰ = 60 80·b¹⁰ = 40 b¹⁰ = 40/80 = 1/2 = 0,5 b = (0,5)^(1/10) = (1/2)^(1/10)

Subpasso 4.4 — Confirmar com a alternativa C

Alternativa C: a = 20; b = (0,5)^(1/10)

Verificando: T(10) = 20 + 80·[(0,5)^(1/10)]^10 = 20 + 80·(0,5)^1 = 20 + 40 = 60°C ✓

Subpasso 4.5 — Análise das outras alternativas

Alternativa B: a = 100; b = 0,5 → T(0) = 100 + 80 = 180°C ≠ 100°C ✗ Alternativa A: a = 20; b = log(0,5) → b seria negativo, impossível como base de exponencial Alternativa D: a = 20; b = (40)^(1/10)/80 → b = 40^(0,1)/80 ≈ 1,48/80 ≈ 0,0185 → T(10) = 20 + 80×(0,0185)^10 ≈ 20 (muito pequeno) ≠ 60 Alternativa E: a = 20; b = 40 → b > 1 → função crescente, impossível para resfriamento

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) a = 20; b = log(0,5) ❌ Incorreta: log(0,5) é negativo (≈ −0,301), o que tornaria b negativo. Uma base negativa em função exponencial real não faz sentido físico (temperatura oscilaria entre positivo e negativo).

B) a = 100; b = 0,5 ❌ Incorreta: se a = 100, a temperatura ambiente seria 100°C, o que é impossível (contexto de resfriamento). Além disso, T(0) = 100 + 80 = 180°C, não 100°C.

C) a = 20; b = (0,5)^(1/10) ✅ Correta: a = 20°C corresponde à temperatura ambiente (assíntota). Com b = (0,5)^(1/10), tem-se T(0) = 100°C (água fervendo) e T(10) = 60°C (metade do decaimento em 10 min), conforme o gráfico.

D) a = 20; b = (40)^(1/10)/80 ❌ Incorreta: esse valor de b resulta em uma temperatura T(10) muito próxima de 20°C, não condizente com o gráfico apresentado.

E) a = 20; b = 40 ❌ Incorreta: b > 1 tornaria a função crescente, mas a temperatura deve diminuir (resfriamento). Fisicamente impossível.

🏆 Gabarito: C — a = 20 (temperatura ambiente) e b = (0,5)^(1/10), obtidos da assíntota horizontal do gráfico e do ponto T(10) = 60°C.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa com a = 20 (temperatura ambiente lida no gráfico) e b entre 0 e 1 (resfriamento), com valor exato que satisfaz T(10) = 60°C.
• Padrão de cobrança: Modelagem de resfriamento/aquecimento com funções exponenciais é tema recorrente no ENEM, especialmente com identificação de parâmetros a partir de gráficos.
• Generalização: Em T(t) = T_amb + (T_ini − T_amb)·bᵗ: (1) a = T_amb (assíntota); (2) T_ini − T_amb = coeficiente da exponencial; (3) bᵗ = (T(t) − T_amb)/(T_ini − T_amb) em algum ponto t conhecido.
• Dica de eliminação rápida: Eliminar imediatamente b ≥ 1 (alternativas E) e b < 0 (alternativa A). Verificar se a = T_ambiente ≠ T_inicial elimina B. Entre C e D, calcular T(10).
• Conexões com outros temas: Logaritmos, lei de Newton do resfriamento, exponencial natural, modelagem.