Questão 179 — ENEM 2023 PPL
Em uma sala escura há um ponto luminoso, a mais de 3 metros de distância de uma parede, e um disco pendurado, paralelo à parede, entre ela e o ponto luminoso. O disco encontra-se a 1 metro de distância do ponto luminoso, projetando uma sombra S₁, em formato de círculo, na parede. Esse disco é afastado mais 2 m do ponto luminoso, em direção à sombra e sem encostar na parede, projetando outra sombra S₂, também no formato de um círculo.
Sejam A₁ a área de S₁ e A₂ a área de S₂.
O valor de A₁/A₂ é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Semelhança de triângulos + Projeção central (sombras) + Razão de áreas (quadrado da razão linear).
- Nível: Médio — exige identificar que a sombra é uma projeção central e que a razão linear de ampliação é d_parede/d_disco (do ponto luminoso).
- Tema/Habilidade BNCC: geometria das projeções e semelhanças.
- Gabarito: E — A₁/A₂ = 9.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Se o disco (de raio fixo r) está a 1 m da fonte luminosa e a parede a x > 3 m, a sombra S₁ tem raio x·r. Afastando o disco mais 2 m (a 3 m da fonte), a sombra S₂ tem raio (x/3)·r. Qual é A₁/A₂?"
- Palavras-chave decisivas: disco a 1 m do ponto luminoso, parede a mais de 3 m, disco afastado mais 2 m → 3 m do ponto, área S₁ / área S₂.
- Armadilha típica: pensar que as áreas dependem da distância parede-disco (d = x − 1 ou x − 3), mas na realidade dependem do fator de ampliação da projeção central (d_parede/d_disco desde o ponto luminoso).
- Critério de acerto: identificar que, para projeção central, raio_sombra/raio_disco = distância_parede / distância_disco (ambos do ponto luminoso). Razão de áreas = quadrado da razão linear.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Projeção central: raios de luz saem do ponto O e passam pelas bordas do disco, atingindo a parede. Triângulos semelhantes entre a fonte-disco-parede.
- Raio da sombra: r_sombra = (distância_parede / distância_disco) · r_disco.
- Razão linear: k = d_parede / d_disco (com d medidas desde o ponto luminoso).
- Razão de áreas: (r_sombra/r_disco)² = k² (semelhança planar).
- Cálculos:
- Situação 1: d_disco = 1, d_parede = x → k₁ = x.
- Situação 2: d_disco = 3, d_parede = x → k₂ = x/3.
- Razão A₁/A₂ = (k₁/k₂)² = (x / (x/3))² = 3² = 9.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: disco a 1 m do ponto luminoso; parede a x m do ponto (x > 3, para a S₂ não ser tangente ao disco).
- Evidência 2: disco afastado 2 m → 3 m do ponto.
- Evidência 3: parede permanece na mesma posição x.
- Síntese: a distância parede-ponto é constante; muda só a distância disco-ponto (de 1 para 3). Razão linear das sombras muda de x para x/3 → razão de áreas = 9.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Estabelecer a geometria da projeção
- Ponto luminoso em O.
- Parede a distância x de O (x > 3).
- Disco a distância d de O, com raio r.
- Raio da sombra = (x/d) · r.
Subpasso 4.2 — Calcular o raio da sombra em cada situação
- S₁: d = 1 → raio = x · r. Área A₁ = π·(x·r)² = π·x²·r².
- S₂: d = 3 → raio = (x/3) · r. Área A₂ = π·(x/3)²·r² = π·x²·r² / 9.
Subpasso 4.3 — Calcular A₁/A₂
$$
\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi\,x^2\,r^2}{\pi\,x^2\,r^2 / 9} = 9
$$
Subpasso 4.4 — Observação
- O fator 9 não depende de x (distância da parede), apenas da razão entre as distâncias do disco ao ponto luminoso (1 vs. 3).
- Intuição: aproximando o disco da parede (afastando-o do ponto luminoso), a sombra fica menor — pois o disco tapa menos do cone de luz.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 1. ❌ Incorreta. Seria se as sombras tivessem o mesmo tamanho, o que só ocorreria se o disco não tivesse sido movido.
B) 2. ❌ Incorreta. Não corresponde ao quadrado de nenhuma razão geométrica coerente.
C) 3. ❌ Incorreta — armadilha. É a razão linear (3× menor na S₂), não a de áreas (que é 3² = 9).
D) 4. ❌ Incorreta. Aparece se alguém errar na expansão do quadrado de 2.
E) 9. ✅ Correta.
A₁/A₂ = (x/(x/3))² = 3² = 9.
🏆 Gabarito: E — 9.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: em projeção central, a razão das áreas é o quadrado da razão das distâncias (disco ao ponto luminoso), invertida.
- Padrão de cobrança ENEM: semelhança e áreas em projeções é tema recorrente (sombras, lentes, maquetes).
- Generalização: Regra da projeção central —
- Raio da sombra = (d_parede / d_disco) · r_disco.
- Razão linear muda → razão de áreas = (razão linear)².
- Dica de eliminação: se os alunos esquecerem do quadrado, escolhem C (razão linear = 3). A resposta correta é 3² = 9.
- Conexões: câmara escura (pinhole), lentes convergentes, teorema de Tales, homotetia, teorema de Pitágoras.