Questão 178 — ENEM 2023 PPL
Estudantes de psicologia experimental estão analisando um modelo matemático que foi desenvolvido a partir de um experimento com pombos. Nesse experimento, um alimento considerado como uma recompensa reforçadora era fornecido em quantidades (Q) para as aves, com a possibilidade de atraso no tempo de entrega.
O modelo matemático que relaciona os valores reforçadores V₁ e V₂ de duas recompensas em função de suas respectivas quantidades Q₁ e Q₂ e de seus respectivos tempos de atraso T₁ e T₂ na disponibilização de cada uma delas é:
V₁/V₂ = (Q₁/Q₂) · (T₂/T₁)
Ao analisarem o caso em que a quantidade Q₁ é o dobro da quantidade Q₂, cinco estudantes fizeram as seguintes afirmações sobre em que condição o valor V₁ será maior que o valor V₂:
• estudante 1: sempre, pois Q₁ é o dobro de Q₂;
• estudante 2: apenas quando a razão entre T₂ e T₁ for maior que 0,5;
• estudante 3: apenas quando a razão entre T₂ e T₁ for menor que 0,5;
• estudante 4: apenas quando T₁ for igual a T₂;
• estudante 5: apenas quando a razão entre T₂ e T₁ for maior que 0,5 e menor que 1.
Qual estudante fez a afirmação correta?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Inequações com razões + Manipulação algébrica + Interpretação de modelo científico.
- Nível: Médio — exige substituir Q₁ = 2Q₂ na expressão V₁/V₂ = (Q₁/Q₂)·(T₂/T₁), obter (V₁/V₂) = 2·(T₂/T₁), e exigir V₁/V₂ > 1.
- Tema/Habilidade BNCC: álgebra em modelos experimentais.
- Gabarito: B — estudante 2 (T₂/T₁ > 0,5).
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Dado V₁/V₂ = (Q₁/Q₂)·(T₂/T₁), com Q₁ = 2·Q₂, qual a condição para V₁ > V₂?"
- Palavras-chave decisivas: Q₁ = 2·Q₂, V₁ > V₂, cinco estudantes com afirmações.
- Armadilha típica: aluno 1 (sempre V₁ > V₂ porque Q₁ > Q₂) — mas o modelo também depende de T's! Se T₁ >> T₂, o atraso anula o ganho de quantidade.
- Critério de acerto: substituir Q₁/Q₂ = 2 e impor V₁/V₂ > 1 → T₂/T₁ > 1/2.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Modelo: V = Q·(1/T) — recompensa maior com mais quantidade e menos atraso.
- Razão V₁/V₂: depende de dois fatores — razão de quantidades e razão de tempos (invertida).
- Com Q₁ = 2Q₂:
$$
\frac{V_1}{V_2} = 2 \cdot \frac{T_2}{T_1}
$$
- Condição V₁ > V₂: V₁/V₂ > 1 → 2·(T₂/T₁) > 1 → T₂/T₁ > 0,5.
- Interpretação: a dobra na quantidade pode não compensar se o atraso T₁ for muito maior que T₂ (divisor maior).
- Se T₂/T₁ = 0,5: razão V₁/V₂ = 2·0,5 = 1 → V₁ = V₂ (equilíbrio).
- Se T₂/T₁ < 0,5: razão < 1 → V₁ < V₂ (T₁ longo demais anula a vantagem).
- Se T₂/T₁ > 0,5: razão > 1 → V₁ > V₂ ✓
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: Q₁ = 2·Q₂ → dobro da quantidade em 1 sobre 2.
- Evidência 2: pergunta "V₁ > V₂?".
- Evidência 3: cinco afirmações diferentes (estudantes 1 a 5).
- Síntese: resolver a inequação e casar com uma das afirmações → estudante 2.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Substituir Q₁ = 2Q₂
$$
\frac{V_1}{V_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} = 2 \cdot \frac{T_2}{T_1}
$$
Subpasso 4.2 — Impor V₁ > V₂
$$
V_1 > V_2 \Leftrightarrow \frac{V_1}{V_2} > 1 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{T_2}{T_1} > 1
$$
Subpasso 4.3 — Isolar T₂/T₁
$$
\frac{T_2}{T_1} > \frac{1}{2} = 0{,}5
$$
Subpasso 4.4 — Identificar o estudante correto
- Estudante 2: "quando T₂/T₁ > 0,5". ✓
Subpasso 4.5 — Validar os outros
- Estudante 1 (sempre): ignora o papel dos tempos. Incorreto.
- Estudante 3 (T₂/T₁ < 0,5): invertido — esse caso dá V₁ < V₂.
- Estudante 4 (T₁ = T₂): caso particular → V₁ = 2·V₂ (V₁ > V₂), mas não é "apenas quando"; outras condições também servem.
- Estudante 5 (0,5 < T₂/T₁ < 1): parcialmente correto, mas qualquer T₂/T₁ > 0,5 funciona (inclusive ≥ 1).
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 1. ❌ Incorreta. Estudante 1 ignora o papel dos tempos T.
B) 2. ✅ Correta.
T₂/T₁ > 0,5 é a condição exata para V₁ > V₂ com Q₁ = 2·Q₂.
C) 3. ❌ Incorreta. Invertido (T₂/T₁ < 0,5 dá V₁ < V₂).
D) 4. ❌ Incorreta. T₁ = T₂ é apenas um caso particular; condição muito restritiva.
E) 5. ❌ Incorreta. Restringe desnecessariamente a T₂/T₁ < 1; se T₂/T₁ = 2 (por exemplo), V₁/V₂ = 4 > 1 também.
🏆 Gabarito: B — estudante 2.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: V₁/V₂ = 2·(T₂/T₁) > 1 → T₂/T₁ > 0,5.
- Padrão de cobrança ENEM: modelos com razões e inequações aparecem em economia, biologia, física (leis empíricas).
- Generalização: Regra da substituição — ao fixar uma razão (Q₁/Q₂ = 2), isolar a outra (T₂/T₁) e aplicar a inequação.
- Dica de eliminação: alternativa 1 (sempre) desconsidera o modelo; alternativas 3-5 têm restrições incorretas. Só 2 é consistente com a álgebra.
- Conexões: teoria do reforço comportamental (Skinner), economia comportamental, álgebra de razões, inequações lineares.