Questão 175 — ENEM 2023 PPL
Um rolo de papel higiênico tradicional é representado por um cilindro circular reto retirando-se outro cilindro circular reto interior, de mesmo eixo de simetria, mesma altura e diâmetro menor, conforme a figura.
Considere um rolo de papel higiênico com 12 cm de diâmetro externo, 4 cm de diâmetro interno e 10 cm de altura.
O volume, em centímetro cúbico, desse rolo é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Volume de cilindro (V = π·r²·h) + Subtração de volumes (cilindro oco) + Aritmética com potências.
- Nível: Fácil — aplicar V_oco = π·(R² − r²)·h.
- Tema/Habilidade BNCC: geometria espacial em objetos cotidianos.
- Gabarito: C — 320π cm³.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Um rolo de papel higiênico com diâmetro externo 12 cm, diâmetro interno 4 cm e altura 10 cm — qual seu volume (de papel, sem contar o vazio central)?"
- Palavras-chave decisivas: diâmetro externo 12 cm, diâmetro interno 4 cm, altura 10 cm.
- Armadilha típica: calcular só o cilindro externo sem subtrair o oco interno; ou esquecer que o raio é metade do diâmetro.
- Critério de acerto: raios (não diâmetros) → R = 6, r = 2 → V_papel = π·(R² − r²)·h = π·(36 − 4)·10 = 320π.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume de cilindro: V = π·r²·h.
- Cilindro oco (casca cilíndrica): V_oco = V_externo − V_interno = π·(R² − r²)·h.
- Dimensões da questão:
- R_ext = 12/2 = 6 cm.
- R_int = 4/2 = 2 cm.
- h = 10 cm.
- Aplicação: V = π·(6² − 2²)·10 = π·(36 − 4)·10 = π·32·10 = 320π cm³.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: diâmetro externo = 12 cm → raio externo = 6 cm.
- Evidência 2: diâmetro interno = 4 cm → raio interno = 2 cm.
- Evidência 3: altura = 10 cm.
- Síntese: V_papel = π·(6² − 2²)·10.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Converter diâmetros em raios
- R = 12/2 = 6 cm.
- r = 4/2 = 2 cm.
Subpasso 4.2 — Volume do cilindro externo
$$
V_{\text{ext}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 10 = \pi \cdot 36 \cdot 10 = 360\pi\,\text{cm}^3
$$
Subpasso 4.3 — Volume do cilindro interno (oco)
$$
V_{\text{int}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 2^2 \cdot 10 = \pi \cdot 4 \cdot 10 = 40\pi\,\text{cm}^3
$$
Subpasso 4.4 — Volume do papel
$$
V_{\text{papel}} = V_{\text{ext}} - V_{\text{int}} = 360\pi - 40\pi = 320\pi\,\text{cm}^3
$$
Subpasso 4.5 — Aproximação decimal
- 320π ≈ 320 × 3,14 ≈ 1 005 cm³ ≈ 1 litro.
- Coincide com ordem de grandeza de rolo de papel higiênico.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 80π.
❌ Incorreta. Possível erro: usar diâmetros direto (12²−4²)·h = 128... ou confundir fórmula.
B) 160π.
❌ Incorreta. Valor pela metade; erro de altura ou fator.
C) 320π. ✅ Correta.
V = π·(36 − 4)·10 = 32π·10 = 320π cm³.
D) 640π.
❌ Incorreta. Dobro do correto; possivelmente erro multiplicativo.
E) 1 280π.
❌ Incorreta. Valor excessivo.
🏆 Gabarito: C — 320π cm³.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: rolo de papel = cilindro externo menos cilindro interno; V = π(R² − r²)·h.
- Padrão de cobrança ENEM: volumes de figuras ocas (rolos, tubos, anéis) aparecem com frequência.
- Generalização: Regra do cilindro oco —
$$V = \pi\,(R^2 - r^2)\,h$$
- Cuidado: sempre usar raios, não diâmetros.
- Dica de eliminação: calcular R² − r² = 36 − 4 = 32. Multiplicar por h = 10 → 320. Valor com π → 320π. Só C.
- Conexões: volume de canos, rolos de fio, baldes cônicos, casca esférica (análogo 3D), ∫ em cálculo.