Questão 174 — ENEM 2023 PPL
A proprietária de uma confecção pretende liquidar as camisas que possui em estoque, por meio de uma promoção na qual fará a venda de lotes com iguais quantidades de camisas. Para a 1ª semana, pretende anunciar a venda de cada lote de camisas por R$ 720,00. Na 2ª semana, para acelerar as vendas, planeja anunciar a venda de lotes com 3 unidades a mais do que os lotes vendidos na primeira semana, ainda por R$ 720,00 cada lote, e de forma que o preço unitário de cada peça seja R$ 20,00 mais baixo do que o valor que teria sido cobrado por peça na 1ª semana de promoção.
Quantas camisas deverão conter os lotes que serão colocados à venda na 1ª semana para que seja possível praticar essa promoção?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Equação do 2º grau + Bhaskara + Modelagem de situação comercial (preço unitário).
- Nível: Médio-alto — exige montar a equação 720/n − 720/(n+3) = 20 e resolvê-la como equação do 2º grau após simplificação.
- Tema/Habilidade BNCC: equações quadráticas em contexto.
- Gabarito: A — 9 camisas por lote.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Se na 1ª semana vendem-se lotes de n camisas por R$ 720 (preço unitário 720/n) e na 2ª semana lotes de n+3 camisas pelos mesmos R$ 720 (preço unitário 720/(n+3)), R$ 20 mais barato, quantas camisas tem cada lote na 1ª semana?"
- Palavras-chave decisivas: R$ 720 por lote, 3 camisas a mais na 2ª semana, R$ 20 mais barato por peça.
- Armadilha típica: montar equação incorreta (trocar sinais) ou esquecer que a redução é por peça, não por lote.
- Critério de acerto: 720/n − 720/(n+3) = 20; simplificar para 2160/[n(n+3)] = 20 → n(n+3) = 108 → n = 9.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Preço unitário: preço total do lote ÷ número de camisas.
- Equação montada:
- Preço 1ª sem por camisa: 720/n.
- Preço 2ª sem por camisa: 720/(n+3).
- Diferença: 20 reais mais barato → 720/n − 720/(n+3) = 20.
- Simplificação:
- Tirando denominador comum: [720(n+3) − 720n] / [n(n+3)] = 20.
- 720·3 / [n(n+3)] = 20.
- 2160 / [n(n+3)] = 20.
- n(n+3) = 2160/20 = 108.
- n² + 3n − 108 = 0.
- Bhaskara: n = [−3 ± √(9 + 432)] / 2 = [−3 ± 21] / 2.
- n = 18/2 = 9 (positiva, válida).
- n = −24/2 = −12 (negativa, descartada).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: R$ 720 por lote em ambas as semanas.
- Evidência 2: na 2ª semana, lote tem 3 a mais.
- Evidência 3: preço por peça na 2ª sem é R$ 20 menor que na 1ª sem.
- Síntese: igualdade entre (1ª sem preço) − (2ª sem preço) = 20 → equação quadrática → n = 9.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Montar a equação
$$
\frac{720}{n} - \frac{720}{n+3} = 20
$$
Subpasso 4.2 — Simplificar (denominador comum)
$$
\frac{720(n+3) - 720\,n}{n(n+3)} = 20
$$
$$
\frac{720 \cdot 3}{n(n+3)} = 20
$$
$$
\frac{2160}{n(n+3)} = 20
$$
Subpasso 4.3 — Equação quadrática
$$
n(n+3) = \frac{2160}{20} = 108
$$
$$
n^2 + 3n - 108 = 0
$$
Subpasso 4.4 — Bhaskara
$$
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441
$$
$$
\sqrt{\Delta} = 21
$$
$$
n = \frac{-3 \pm 21}{2}
$$
- n = 9 (positiva ✓) ou n = −12 (descartada).
Subpasso 4.5 — Verificação
- 1ª sem: 720/9 = R$ 80/camisa.
- 2ª sem: 720/12 = R$ 60/camisa.
- Diferença: 80 − 60 = R$ 20 ✓
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 9. ✅ Correta.
Equação 720/n − 720/(n+3) = 20 → n(n+3) = 108 → n = 9.
B) 12.
❌ Incorreta. É o tamanho do lote da 2ª semana (n+3), não da 1ª.
C) 24.
❌ Incorreta. Valor não satisfaz a equação.
D) 33.
❌ Incorreta. Idem.
E) 105.
❌ Incorreta. Valor muito alto; 720/105 ≈ R$ 6,86/camisa, inconsistente.
🏆 Gabarito: A — 9 camisas por lote.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: diferença de preços unitários leva a uma equação quadrática; n = 9 é a única raiz positiva.
- Padrão de cobrança ENEM: equações do 2º grau em contexto de vendas, áreas, velocidade aparecem com frequência.
- Generalização: Regra da modelagem — identificar a grandeza a igualar (diferença de preços, área total, tempo comum) e montar equação em função da variável procurada.
- Dica de eliminação: verificar rapidamente se n = 9 satisfaz (R$ 80 vs. R$ 60 na 2ª → diferença R$ 20 ✓). n = 12 é lote da 2ª semana, não da 1ª.
- Conexões: equações racionais, Bhaskara, relações entre preços e quantidades, problemas de corrida (velocidade relativa).