Questão 173 — ENEM 2023 PPL
Um tipo de célula se reproduz constantemente por divisão celular, triplicando sua quantidade a cada duas horas, sob condições ideais de proliferação. Suponha uma quantidade inicial Q₀ dessas células sob as condições ideais de proliferação durante um certo período.
Qual a representação algébrica da quantidade Q dessas células em função do tempo t, em hora, nesse período?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Função exponencial + Modelagem de crescimento biológico + Escrita algébrica.
- Nível: Médio — identificar a forma geral Q(t) = Q_0 · b^(t/T) e calibrar para "triplica a cada 2 horas" (b = 3, T = 2).
- Tema/Habilidade BNCC: modelagem matemática de fenômenos biológicos.
- Gabarito: D — Q(t) = Q₀ · 3^(t/2).
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Uma população celular com Q₀ iniciais triplica a cada 2 horas. Escreva Q em função de t (em horas)."
- Palavras-chave decisivas: triplicando a cada duas horas, Q₀ inicial, t em horas.
- Armadilha típica: escrever Q(t) = Q₀ · 3ᵗ (triplicaria a cada hora, não a cada 2) ou Q(t) = Q₀ · 3^(2t) (triplicaria 3² = 9 vezes a cada 2 horas).
- Critério de acerto: reconhecer que se triplica a cada 2 horas, o expoente deve ser t/2 (para que a cada 2 h cresça o fator 3).
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Função exponencial de crescimento: Q(t) = Q₀ · b^(t/T)
- b: fator multiplicativo por período T.
- T: tempo em que o valor é multiplicado por b.
- Em t = T: Q = Q₀ · b¹.
- Em t = 2T: Q = Q₀ · b².
- Caso celular (triplica a cada 2 h):
- b = 3 (triplica).
- T = 2 h.
- Função: Q(t) = Q₀ · 3^(t/2).
- Verificação:
- t = 0: Q = Q₀.
- t = 2: Q = Q₀ · 3 (triplo após 2 h). ✓
- t = 4: Q = Q₀ · 3² = 9·Q₀ (triplo do triplo). ✓
- t = 6: Q = Q₀ · 3³ = 27·Q₀.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: fator de multiplicação = 3 (triplica).
- Evidência 2: intervalo = 2 horas.
- Evidência 3: variável independente = t (em horas).
- Síntese: Q(t) = Q₀ · 3^(t/2).
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar os parâmetros
- Base exponencial: 3 (triplica a cada período).
- Período: 2 horas.
Subpasso 4.2 — Escrever a função
- Padrão geral: Q(t) = Q₀ · b^(t/T).
- Substituindo: Q(t) = Q₀ · 3^(t/2).
Subpasso 4.3 — Verificar via casos de referência
- Em t = 0: 3^(0/2) = 3⁰ = 1. Q = Q₀ ✓
- Em t = 2: 3^(2/2) = 3¹ = 3. Q = 3·Q₀ ✓ (triplicou em 2 h).
- Em t = 4: 3^(4/2) = 3² = 9. Q = 9·Q₀ ✓
- Em t = 6: 3^(6/2) = 3³ = 27. Q = 27·Q₀ ✓
Subpasso 4.4 — Por que outras são erradas
- Q(t) = Q₀ · 3ᵗ: em t = 1, Q = 3·Q₀ (triplicaria a cada 1 hora, não 2).
- Q(t) = Q₀ · 3^(2t): em t = 1, Q = 9·Q₀ (sextuplicaria? Muito rápido).
- Q(t) = Q₀ · 2^(t/3): base 2 (duplica), período 3 h — não é "triplica a cada 2".
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) Q(t) = Q₀ · 3ᵗ.
❌ Incorreta. Triplicaria a cada 1 hora. Em t = 2, Q = 9·Q₀, mas o enunciado diz 3·Q₀.
B) Q(t) = Q₀ · 3^(2t).
❌ Incorreta. Em t = 1, Q = 9·Q₀ (nona); cresce 9 vezes a cada hora — muito mais rápido.
C) Q(t) = Q₀ · 2^(t/3).
❌ Incorreta. Base 2 (não triplica, duplica), período 3 h.
D) Q(t) = Q₀ · 3^(t/2). ✅ Correta.
Triplica (b = 3) a cada 2 horas (T = 2).
E) Q(t) = Q₀ · 3^(t/2 − 1).
❌ Incorreta. Em t = 0: Q = Q₀ · 3⁻¹ = Q₀/3, não Q₀. Valor inicial incoerente.
🏆 Gabarito: D — Q(t) = Q₀ · 3^(t/2).
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: crescimento exponencial com base b e período T → Q = Q₀·b^(t/T). Aqui: b = 3, T = 2.
- Padrão de cobrança ENEM: modelagem exponencial aparece em divisão celular, juros compostos, decaimento radioativo, crescimento populacional.
- Generalização: Regra da exponencial —
- Fator multiplicativo por período = b.
- Tempo por período = T.
- Q(t) = Q₀ · b^(t/T).
- Dica de eliminação: verificar em t = 2 (deve dar Q = 3·Q₀) e t = 0 (deve dar Q₀). Só D satisfaz ambas.
- Conexões: meia-vida radioativa, juros compostos (A = P(1+i)^t), crescimento populacional malthusiano, semilog plots.