Questão 171 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Escala (linear vs. volumétrica) + Conversão de unidades (L ↔ cm³) + Cálculo de raiz cúbica.
• Nível: Médio — exige entender que escala linear se relaciona com escala volumétrica pela raiz cúbica (k³ → k).
• Tema/Habilidade BNCC: geometria espacial e razões em modelos 3D.
• Gabarito: A — 1:100.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Uma piscina olímpica de 2,5 · 10⁶ L é representada por uma maquete de 2 500 cm³. Qual é a escala linear da maquete?"
• Palavras-chave decisivas: piscina 2 500 000 L (volume real), maquete 2 × 25 × 50 = 2 500 cm³ (volume maquete), 1 L = 10³ cm³.
• Armadilha típica: escolher a escala volumétrica (1:10⁶) em vez da linear (1:100). Escala apresentada é linear por convenção.
• Critério de acerto: converter volume real para cm³, calcular razão volumétrica e tirar raiz cúbica para obter a escala linear.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Relação escala-linear ↔ escala-volumétrica:

- Se escala linear é 1:k, então escala de área é 1:k² e escala de volume é 1:k³.

• Conversão:

- 1 L = 10³ cm³ (1 dm³ = 1 L, definição).

- 2,5 · 10⁶ L = 2,5 · 10⁶ · 10³ cm³ = 2,5 · 10⁹ cm³.

• Volumes:

- V_real = 2,5 · 10⁹ cm³.

- V_maquete = 2 500 cm³ = 2,5 · 10³ cm³.

• Razão volumétrica: V_maq / V_real = 2,5 · 10³ / 2,5 · 10⁹ = 10⁻⁶.
• Escala volumétrica: 1:10⁶ (ou 1 para 1 milhão em volume).
• Escala linear: k = ³√10⁶ = 10² = 100 → escala 1:100.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: volume real = 2 500 000 L = 2,5·10⁹ cm³.
• Evidência 2: volume maquete = 2·25·50 = 2 500 cm³.
• Evidência 3: pergunta "qual a escala" → convenção linear.
• Síntese: razão volumétrica 10⁻⁶ → raiz cúbica → 10⁻² = 1:100.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Converter volume real para cm³

$$

V_{\text{real}} = 2\,500\,000 \text{ L} \cdot 1\,000 \tfrac{\text{cm}^3}{\text{L}} = 2{,}5 \cdot 10^{9}\,\text{cm}^3

$$

Subpasso 4.2 — Volume da maquete

$$

V_{\text{maq}} = 2 \cdot 25 \cdot 50 = 2\,500\,\text{cm}^3 = 2{,}5 \cdot 10^{3}\,\text{cm}^3

$$

Subpasso 4.3 — Razão volumétrica

$$

\frac{V_{\text{maq}}}{V_{\text{real}}} = \frac{2{,}5 \cdot 10^{3}}{2{,}5 \cdot 10^{9}} = 10^{-6}

$$

Subpasso 4.4 — Escala linear (raiz cúbica)

$$

\left(\frac{1}{k}\right)^{3} = 10^{-6} \Rightarrow \frac{1}{k} = 10^{-2} \Rightarrow k = 100

$$

• Escala linear: 1:100.

Subpasso 4.5 — Verificação

• Piscina olímpica real tem dimensões típicas 50 m × 25 m × 2 m.
• Em escala 1:100, isso dá 50 cm × 25 cm × 2 cm ✓ (coincide com as dimensões da maquete).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1:100. ✅ Correta.

Escala linear obtida por ³√10⁶ = 10² = 100. Consistente com dimensões da maquete vs. piscina real.

B) 1:1 000.

❌ Incorreta. Corresponde a ³√10⁹ = 10³, mas a razão é 10⁻⁶, não 10⁻⁹.

C) 1:2 000.

❌ Incorreta. Valor não se encaixa em nenhum cálculo coerente.

D) 1:50 000.

❌ Incorreta. Nenhuma base correta.

E) 1:1 000 000.

❌ Incorreta — armadilha principal. Esta é a escala volumétrica, não a linear. Muitos alunos confundem as duas.

🏆 Gabarito: A — 1:100.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: escala linear = raiz cúbica da escala volumétrica. Aqui, V_maq/V_real = 10⁻⁶ → 10⁻² = 1:100.
• Padrão de cobrança ENEM: escala em modelos 3D (maquetes, globos terrestres, miniaturas) cobrada com cuidado para distinguir linear vs. volumétrica.
• Generalização: Regra da escala —

- Linear: 1:k.

- Área: 1:k².

- Volume: 1:k³.

• Dica de eliminação: descartar E (1:10⁶, escala volumétrica, não linear). Das demais, só 1:100 faz ³√10⁶ = 10² bater.
• Conexões: dimensão fractal, similaridade geométrica, lei do quadrado-cubo (biologia), maquetes arquitetônicas, planetários.