Questão 170 — ENEM 2023 PPL
Uma piscina de um clube tem o formato de paralelepípedo reto retângulo com 50 m de comprimento, 25 m de largura e 3 m de profundidade. O proprietário do clube construirá duas novas piscinas, de formatos diferentes, e necessita que cada uma tenha o mesmo volume da existente ou o mais próximo possível desse volume. A empresa de construção contratada disponibilizou, para a avaliação desse proprietário, uma proposta com cinco projetos de piscina: três com o formato de cilindro circular reto e duas com o formato de paralelepípedo reto retângulo:
• piscina cilíndrica I (C₁): 50 m de diâmetro de base e 2 m de profundidade;
• piscina cilíndrica II (C₂): 40 m de diâmetro de base e 3 m de profundidade;
• piscina cilíndrica III (C₃): 46 m de diâmetro de base e 2,5 m de profundidade;
• piscina em formato de paralelepípedo I (P₁): 62 m de comprimento, 24 m de largura e 2 m de profundidade;
• piscina em formato de paralelepípedo II (P₂): 64 m de comprimento, 30 m de largura e 2 m de profundidade.
Considere 3 como valor aproximado de π.
Para atender às suas necessidades, dentre os projetos propostos, o proprietário desse clube deverá escolher as piscinas
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Geometria espacial (volume de cilindro e paralelepípedo) + Comparação + Uso de π ≈ 3.
- Nível: Médio — calcular 5 volumes (3 cilíndricos + 2 paralelepipédicos), comparar com o alvo (3 750 m³) e escolher as duas mais próximas.
- Tema/Habilidade BNCC: geometria espacial e otimização.
- Gabarito: A — C₁ e P₂.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "A piscina atual tem 3 750 m³. Entre 5 projetos (3 cilíndricos C₁, C₂, C₃ + 2 retangulares P₁, P₂), quais dois têm volume mais próximo de 3 750 m³?"
- Palavras-chave decisivas: piscina original 50 × 25 × 3 = 3 750 m³, 5 propostas, escolher duas com volume mais próximo, π ≈ 3.
- Armadilha típica: escolher as duas com maior volume sem comparar com o alvo 3 750.
- Critério de acerto: calcular volume de cada projeto e escolher as duas mínimas em |V − 3750|.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume do paralelepípedo: V = c · l · h.
- Volume do cilindro: V = π · r² · h.
- Volumes calculados com π = 3:
| Projeto | Fórmula | Cálculo | V (m³) | |V − 3750| |
|---|---|---|---|---|
| C₁ | π · 25² · 2 | 3 · 625 · 2 | 3 750 | 0 |
| C₂ | π · 20² · 3 | 3 · 400 · 3 | 3 600 | 150 |
| C₃ | π · 23² · 2,5 | 3 · 529 · 2,5 | 3 967,5 | 217,5 |
| P₁ | 62 · 24 · 2 | — | 2 976 | 774 |
| P₂ | 64 · 30 · 2 | — | 3 840 | 90 |
- Mais próximos: C₁ (0) e P₂ (90).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: alvo = 3 750 m³ (piscina original).
- Evidência 2: 5 projetos propostos.
- Evidência 3: π ≈ 3 simplifica cilindros.
- Síntese: calcular os 5 e ranquear por proximidade.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Volume da piscina original
$$
V_0 = 50 \cdot 25 \cdot 3 = 3\,750\,\text{m}^3
$$
Subpasso 4.2 — Calcular cada proposta
- C₁: V = 3 · (50/2)² · 2 = 3 · 625 · 2 = 3 750 m³ (exato!).
- C₂: V = 3 · (40/2)² · 3 = 3 · 400 · 3 = 3 600 m³.
- C₃: V = 3 · (46/2)² · 2,5 = 3 · 529 · 2,5 = 3 967,5 m³.
- P₁: V = 62 · 24 · 2 = 2 976 m³.
- P₂: V = 64 · 30 · 2 = 3 840 m³.
Subpasso 4.3 — Calcular desvios (|V − 3750|)
- C₁: 0.
- C₂: 150.
- C₃: 217,5.
- P₁: 774.
- P₂: 90.
Subpasso 4.4 — Identificar os dois menores desvios
- 1º: C₁ (0) — bate exatamente com o volume original.
- 2º: P₂ (90) — apenas 90 m³ a mais.
- Escolha: C₁ e P₂.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) C₁ e P₂. ✅ Correta.
C₁ com 3 750 m³ (exato) e P₂ com 3 840 m³ (90 a mais) são os dois mais próximos do volume original.
B) C₁ e C₃.
❌ Incorreta. C₃ tem desvio 217,5, maior que P₂.
C) C₂ e P₁.
❌ Incorreta. C₂ (desvio 150) e P₁ (desvio 774) — ambos piores.
D) C₃ e P₂.
❌ Incorreta. C₃ está mais longe do alvo que C₁.
E) P₁ e P₂.
❌ Incorreta. P₁ tem desvio 774, muito longe.
🏆 Gabarito: A — C₁ e P₂.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: alvo 3 750 m³. C₁ = 3 750 exato; P₂ = 3 840 (+90). Outras propostas ficam mais distantes.
- Padrão de cobrança ENEM: volume de cilindro e paralelepípedo em contexto de otimização é recorrente. Chave = calcular com cuidado e aproximar π.
- Generalização: Regra dos volumes — V_cilindro = πr²h; V_paralelepípedo = c·l·h. Comparar sempre com o alvo calculando desvios absolutos.
- Dica de eliminação: C₁ é óbvio (exato por construção). Entre as outras, P₂ (3 840) é a mais próxima.
- Conexões: engenharia de piscinas, volume de reservatórios, otimização de forma (cilindro vs. caixa).