Questão 165 — ENEM 2023 PPL
Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.
Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm × 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10 cm × 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm × 10 cm, sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado.
Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Análise combinatória (permutações com restrições) + Princípio multiplicativo + Contagem por casos (posição do retalho grande).
- Nível: Difícil — requer contar arranjos de 4 retalhos (1 grande 10×20 + 3 de 10×10) considerando (1) posição do grande, (2) repetições possíveis dos pequenos, (3) sem estampas iguais adjacentes.
- Tema/Habilidade BNCC: combinatória com restrições.
- Gabarito: E — 60.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Tapete 10×50 cm. Usar 1 retalho 10×20 (preto, único tipo) + 3 retalhos 10×10 (3 estampas diferentes, ≥ 2 unidades de cada). Quantos arranjos diferentes existem, sem estampas iguais adjacentes?"
- Palavras-chave decisivas: 10×50 cm, 1 retalho 10×20 (único tipo nessa dimensão), 3 retalhos 10×10 (3 estampas distintas com ao menos 2 unidades de cada), sem rotações, não pode haver estampas iguais lado a lado.
- Armadilha típica: ignorar que os 3 slots de 10×10 podem repetir estampa (há 2 unidades disponíveis); ou não considerar adjacências entre slots separados pelo 10×20.
- Critério de acerto: enumerar as 4 posições possíveis do retalho 10×20 (ocupando 2 slots contíguos dos 5 possíveis) e, para cada posição, contar arranjos válidos dos 3 slots de 10×10 sem adjacência de estampa.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Slots do tapete: 10×50 = 5 slots de 10×10 alinhados horizontalmente (numerados 1, 2, 3, 4, 5).
- Retalhos: 1 de 10×20 (ocupa 2 slots contíguos) + 3 de 10×10 (cada ocupa 1 slot).
- Posições possíveis do 10×20: slots 1-2, 2-3, 3-4, 4-5. Total: 4 posições.
- Slots restantes para retalhos 10×10: os 3 não ocupados pelo 10×20. Dependendo da posição, eles podem ou não ser adjacentes entre si.
- 3 estampas disponíveis de 10×10: denominar-las A, B, C. Cada slot pode receber qualquer uma delas (há 2 unidades de cada), desde que vizinhos não sejam iguais.
- Regras de adjacência: slots adjacentes (que se tocam lateralmente) não podem ter a mesma estampa. O retalho 10×20 (única cor preta) não restringe os 10×10 adjacentes a ele (porque sua cor é diferente das três 10×10 disponíveis).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: 4 posições do 10×20; para cada posição, 3 slots de 10×10 restantes.
- Evidência 2: A adjacência dos slots varia conforme a posição do 10×20:
- Posição 1 (10×20 em slots 1-2): restantes são slots 3, 4, 5 → todos adjacentes entre si.
- Posição 2 (10×20 em slots 2-3): restantes são slots 1, 4, 5 → 1 isolado, 4 e 5 adjacentes.
- Posição 3 (10×20 em slots 3-4): restantes são slots 1, 2, 5 → 1 e 2 adjacentes, 5 isolado.
- Posição 4 (10×20 em slots 4-5): restantes são slots 1, 2, 3 → todos adjacentes entre si.
- Evidência 3: a estampa do 10×20 é distinta das 3 estampas 10×10 → não cria restrições adicionais.
- Síntese: contar arranjos por posição e somar.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Posição 1: restantes slots 3, 4, 5 (adjacentes em sequência)
- Slot 3: 3 estampas possíveis.
- Slot 4: ≠ slot 3 → 2 opções.
- Slot 5: ≠ slot 4 → 2 opções.
- Arranjos: 3 × 2 × 2 = 12.
Subpasso 4.2 — Posição 2: slot 1 isolado + slots 4 e 5 adjacentes
- Slot 1: 3 opções (sem restrição com os outros).
- Slot 4: 3 opções.
- Slot 5: ≠ slot 4 → 2 opções.
- Arranjos: 3 × 3 × 2 = 18.
Subpasso 4.3 — Posição 3: slots 1 e 2 adjacentes + slot 5 isolado
- Slot 1: 3 opções.
- Slot 2: ≠ slot 1 → 2 opções.
- Slot 5: 3 opções.
- Arranjos: 3 × 2 × 3 = 18.
Subpasso 4.4 — Posição 4: restantes slots 1, 2, 3 (adjacentes em sequência)
- Análogo à posição 1: 3 × 2 × 2 = 12.
Subpasso 4.5 — Total
$$
12 + 18 + 18 + 12 = 60 \text{ arranjos}
$$
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 12.
❌ Incorreta. Corresponde a uma só posição (por exemplo, a primeira), ignorando as demais.
B) 24.
❌ Incorreta. Duas posições contabilizadas (12 + 12), ignorando as posições 2 e 3 com slots isolados.
C) 34.
❌ Incorreta. Valor sem correspondência com a contagem correta.
D) 48.
❌ Incorreta. Pode surgir se considerar só 3 posições ou contagem parcial.
E) 60. ✅ Correta.
12 + 18 + 18 + 12 = 60 arranjos possíveis, considerando 4 posições do 10×20 e restrições de adjacência.
🏆 Gabarito: E — 60.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: combinatória com dois "estágios": (1) escolher posição do retalho grande (4 opções), (2) contar arranjos dos slots restantes considerando adjacência.
- Padrão de cobrança ENEM: arranjos com restrição são recorrentes em contextos de ordenação (fila, assentos, tapetes, frutas em prateleira).
- Generalização: Regra do princípio multiplicativo com restrição — para cada slot, contar o número de opções possíveis dadas as restrições dos slots adjacentes já preenchidos.
- Dica de eliminação: contagem rápida (12 por posição para bordas, 18 por posição para centro) soma-se a 60. Valores pequenos (A, B) ou 34 e 48 não batem.
- Conexões: coloração de grafos, problemas de permutação com repetição, princípio da inclusão-exclusão, quebra-cabeças combinatórios, programação dinâmica.