Questão 161 — ENEM 2023 PPL
Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade V de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.
A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na n-ésima medição, a retirada da (n + 1)-ésima parte do que restou.
Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.
Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Sequências e produtos + Cancelamento telescópico + Frações em sequência.
- Nível: Médio — identificar que retirar a (n+1)-ésima parte equivale a multiplicar o volume por n/(n+1); produto telescópico simplifica para V/(n+1).
- Tema/Habilidade BNCC: raciocínio sequencial e multiplicativo.
- Gabarito: E — V/8, V/9 e V/10 (após 7ª, 8ª, 9ª medições).
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Após n medições com padrão 'retirar (n+1)-ésima parte do que restou', qual é o volume restante para n = 7, 8, 9?"
- Palavras-chave decisivas: metade (1ª), terça parte do restante (2ª), quarta parte do restante (3ª), padrão: n-ésima medição retira 1/(n+1).
- Armadilha típica: confundir "retirar 1/(n+1)" com "ficar com 1/(n+1)" — o que resta é n/(n+1) após retirar a fração 1/(n+1).
- Critério de acerto: produto 1/2 · 2/3 · 3/4 · 4/5 · ... · n/(n+1) telescopa e resulta em 1/(n+1).
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Fração restante após a n-ésima medição: se retira-se 1/(n+1) do que tinha, resta (n+1−1)/(n+1) = n/(n+1).
- Volume após n medições:
$$
V_n = V \cdot \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = V \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n+1}
$$
- Cancelamento telescópico: o numerador k de cada fator cancela com o denominador k do anterior. Sobra 1 no numerador inicial e (n+1) no denominador final:
$$
V_n = \frac{V}{n+1}
$$
- Verificação com os primeiros termos:
- V_1 = V · 1/2 = V/2. ✓
- V_2 = V · 1/2 · 2/3 = V/3. ✓
- V_3 = V · 1/2 · 2/3 · 3/4 = V/4. ✓
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: 1ª medição retira metade → resta V/2.
- Evidência 2: 2ª medição retira 1/3 do que tinha (V/2) → retira V/6, restam V/2 − V/6 = V/3. ✓
- Evidência 3: padrão descrito: na n-ésima medição, retira 1/(n+1) do que restou.
- Síntese: volume após n medições = V/(n+1). Para n = 7, 8, 9: V/8, V/9, V/10.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Estabelecer o padrão geral
- Após a n-ésima medição, resta V/(n+1) no reservatório.
Subpasso 4.2 — Aplicar para n = 7, 8, 9
- n = 7 → V/8.
- n = 8 → V/9.
- n = 9 → V/10.
Subpasso 4.3 — Verificar pela fórmula
$$
V_n = V \cdot \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = \frac{V \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots (n+1)} = \frac{V \cdot n!}{(n+1)!/1} = \frac{V}{n+1}
$$
Subpasso 4.4 — Alternativa correta
- V/8, V/9, V/10 corresponde à alternativa E.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 7V/8, 8V/9 e 9V/10.
❌ Incorreta. São as frações retiradas acumuladas, não o que resta.
B) 6V/7, 7V/8 e 8V/9.
❌ Incorreta. Deslocamento errado de índice.
C) 6V/8, 7V/9 e 8V/10.
❌ Incorreta. Valores intermediários sem base correta.
D) V/7, V/8 e V/9.
❌ Incorreta. Deslocamento de índice (confunde n-ésima medição com (n-1)-ésima).
E) V/8, V/9 e V/10. ✅ Correta.
Após 7 medições resta V/8; após 8 medições, V/9; após 9 medições, V/10. Obtido por produto telescópico.
🏆 Gabarito: E — V/8, V/9, V/10.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: produto telescópico das frações (k/(k+1)) de k=1 a n resulta em 1/(n+1).
- Padrão de cobrança ENEM: produtos telescópicos e sequências recursivas são cobrados. Reconhecer o padrão e aplicar simplificação.
- Generalização: Regra do produto telescópico — produtos da forma ∏ a_k/a_{k+1} cancelam em cascata, deixando apenas o primeiro numerador e o último denominador.
- Dica de eliminação: verificar o valor do resto logo após a 1ª medição (deve ser V/2) e após 2 medições (V/3). Alternativa que preserva esse padrão é E.
- Conexões: série harmônica, somas e produtos, telescoping, sequências convergentes (V_n → 0 quando n → ∞).