Questão 160 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Função afim (taxa + variável) + Inequação linear + Otimização (valor máximo que satisfaz a condição).
• Nível: Médio — montar duas funções lineares, comparar para t ≤ 2 h e achar o maior valor da taxa y de Y que mantém Y ≤ X.
• Tema/Habilidade BNCC: sistemas e inequações em contexto de mercado.
• Gabarito: B — R$ 36,00.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A empresa X cobra C_X(t) = 60 + 18t. Y cobra C_Y(t) = 24 + y·t. Qual o valor máximo de y para que C_Y(t) ≤ C_X(t) para todo t ≤ 2?"
• Palavras-chave decisivas: X: 60 fixo + 18/h, Y: 24 fixo + y/h, Y ≤ X para trabalhos até 2 horas.
• Armadilha típica: comparar só em um ponto (t = 2) sem atentar que a condição deve valer para todo t ≤ 2 (pior caso).
• Critério de acerto: resolver a inequação 24 + y·t ≤ 60 + 18t para t ∈ [0, 2], identificando o pior caso (t = 2) se y > 18.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim de custo: C(t) = C_fixo + C_var · t.
• Comparação C_Y ≤ C_X:

- Reescrevendo: 24 + y·t ≤ 60 + 18·t → y·t − 18·t ≤ 60 − 24 → (y − 18)·t ≤ 36.

• Casos:

- Se y ≤ 18: (y − 18) ≤ 0; multiplicando por t ≥ 0, (y − 18)·t ≤ 0 ≤ 36 → sempre verdadeiro. ✓ (Y sempre mais barato).

- Se y > 18: (y − 18) > 0; a inequação (y − 18)·t ≤ 36 fica mais restritiva para t maior. Pior caso: t = 2.

→ (y − 18)·2 ≤ 36 → y − 18 ≤ 18 → y ≤ 36.

• Valor máximo: y = 36.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: X: 60 + 18t. Y: 24 + y·t.
• Evidência 2: "custo total menor ou igual para trabalhos até 2 horas" → Y ≤ X para 0 ≤ t ≤ 2.
• Evidência 3: Y tem taxa fixa menor (24 < 60), então em t = 0, Y é R$ 24 < R$ 60 = X (sempre vantagem).
• Evidência 4: conforme t aumenta, depende de y. Para não ultrapassar X em t = 2, y ≤ 36.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever inequação

$$

C_Y(t) \leq C_X(t) \Leftrightarrow 24 + y\,t \leq 60 + 18\,t

$$

Subpasso 4.2 — Reorganizar

$$

y\,t - 18\,t \leq 60 - 24

$$

$$

(y - 18)\,t \leq 36

$$

Subpasso 4.3 — Caso y > 18 (mais interessante)

• Para todo t ∈ [0, 2]: (y − 18)·t ≤ 36.
• O pior caso (maior valor do lado esquerdo) ocorre em t = 2:

$$

(y - 18) \cdot 2 \leq 36 \Leftrightarrow y - 18 \leq 18 \Leftrightarrow y \leq 36

$$

Subpasso 4.4 — Valor máximo

• y_máx = 36 R$/h.

Subpasso 4.5 — Verificação com y = 36

• Em t = 0: C_Y = 24, C_X = 60 → 24 ≤ 60 ✓
• Em t = 1: C_Y = 24 + 36 = 60, C_X = 60 + 18 = 78 → 60 ≤ 78 ✓
• Em t = 2: C_Y = 24 + 72 = 96, C_X = 60 + 36 = 96 → 96 ≤ 96 ✓ (igualdade exata)

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 18.

❌ Incorreta. Se y = 18, Y é sempre mais barato que X (por causa da taxa fixa menor). Mas não é o máximo — Y pode cobrar até 36/h.

B) 36. ✅ Correta.

Em t = 2, Y cobra 96 = X cobra 96 (igualdade). Para y > 36, em t = 2 Y passaria X.

C) 48.

❌ Incorreta. Em t = 2, Y cobraria 24 + 96 = 120 > 96. Viola a restrição.

D) 54.

❌ Incorreta. Em t = 2, Y cobraria 24 + 108 = 132. Ainda mais distante.

E) 78.

❌ Incorreta. Em t = 1, Y cobraria 24 + 78 = 102 > 78 = X. Viola em qualquer t positivo.

🏆 Gabarito: B — R$ 36,00/h.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: inequação linear — identificar o ponto mais restritivo (t = 2, pior caso) e resolver para y.
• Padrão de cobrança ENEM: comparação de funções afins em mercado (tarifas, planos, serviços) é clássica. Chave = identificar pior caso e resolver a igualdade no limite.
• Generalização: Regra do ponto crítico — em uma inequação linear em t no intervalo [0, T], o pior caso é em t = 0 ou t = T, dependendo do sinal do coeficiente. Aqui, sinal positivo → pior caso em t = T = 2.
• Dica de eliminação: com y = 36, C_Y(2) = C_X(2) = R$ 96 (fácil de verificar). Qualquer valor maior (C, D, E) faz Y ultrapassar X. Sobra B.
• Conexões: funções afins, inequações, comparação de tarifas (táxis, Uber), ponto de equilíbrio, elasticidade.