Questão 159 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Geometria espacial (volume da esfera) + Conceito de casca esférica (V_ext − V_int) + Conversão volume → massa (densidade).
• Nível: Médio — exige calcular dois volumes de esfera, subtrair, e converter para massa.
• Tema/Habilidade BNCC: geometria espacial em contextos práticos.
• Gabarito: C — 4 336π/9 g.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A bola tem diâmetro externo 20 cm e espessura 1 cm. Qual a massa de chocolate usada, sabendo que 1 g = 0,75 cm³?"
• Palavras-chave decisivas: diâmetro externo 20 cm, espessura 1 cm, oca por dentro, 1 g ↔ 0,75 cm³.
• Armadilha típica: calcular o volume total da esfera externa (sem subtrair a parte oca) ou confundir "1 g = 0,75 cm³" com densidade = 0,75 (precisa lembrar que densidade = massa/volume = 1/0,75 g/cm³).
• Critério de acerto: V_casca = V_externa − V_interna; depois m = V / 0,75 (já que 1 g ocupa 0,75 cm³, então m = V · (1/0,75)).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume da esfera: V = (4/3)π r³.
• Raio externo: R_ext = 20/2 = 10 cm.
• Raio interno: R_int = R_ext − espessura = 10 − 1 = 9 cm.
• Volume da casca: V = (4/3)π(R_ext³ − R_int³) = (4/3)π(1000 − 729) = (4/3)π · 271.
• Conversão para massa: 1 g ↔ 0,75 cm³ → densidade ρ = 1/0,75 = 4/3 g/cm³.
• Massa: m = V · ρ = V · (1/0,75) = V · (4/3).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: diâmetro externo 20 cm → R_ext = 10 cm.
• Evidência 2: espessura 1 cm → R_int = 9 cm.
• Evidência 3: oca por dentro → volume útil = V_ext − V_int.
• Evidência 4: 1 g = 0,75 cm³ → m = V / 0,75.
• Síntese: calcular V_casca e dividir por 0,75.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume da esfera externa

$$

V_{\text{ext}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3}\,\text{cm}^3

$$

Subpasso 4.2 — Volume da esfera interna (oca)

$$

V_{\text{int}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = \frac{2916\pi}{3} = 972\pi\,\text{cm}^3

$$

Subpasso 4.3 — Volume da casca (chocolate)

$$

V_{\text{casca}} = V_{\text{ext}} - V_{\text{int}} = \frac{4000\pi}{3} - \frac{2916\pi}{3} = \frac{1084\pi}{3}\,\text{cm}^3

$$

Subpasso 4.4 — Converter volume em massa

• Densidade: ρ = 1/0,75 = 4/3 g/cm³ (já que 1 g ↔ 0,75 cm³).
• Massa:

$$

m = V \cdot \rho = \frac{1084\pi}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4336\pi}{9}\,\text{g}

$$

Subpasso 4.5 — Verificação numérica aproximada

• V ≈ 1084 · 3,14 / 3 ≈ 3406 / 3 ≈ 1135 cm³ (volume da casca).
• m ≈ 1135 · 4/3 ≈ 1513 g (~1,5 kg de chocolate).
• 4336π/9 ≈ 4336 · 3,14 / 9 ≈ 1513 g ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 76π/3.

❌ Incorreta. Valor pequeno (≈ 80 g) — não bate com bola de 20 cm de chocolate oca.

B) 304π/9.

❌ Incorreta. Valor também baixo demais.

C) 4 336π/9. ✅ Correta.

V_casca = 1 084π/3, multiplicado por 4/3 (densidade) = 4 336π/9.

D) 4 000π/3.

❌ Incorreta — armadilha. É o volume da esfera externa inteira, sem subtrair a parte oca nem converter em massa.

E) 18 256π/9.

❌ Incorreta. Erro de multiplicação (talvez multiplicar por (4/3)² ou confundir volume total).

🏆 Gabarito: C — 4 336π/9 g.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: V_casca = V_externa − V_interna; massa = V/0,75 (já que 1 g = 0,75 cm³).
• Padrão de cobrança ENEM: volume de esfera, casca esférica, cilindro oco e cone truncado aparecem em ovos de Páscoa, baldes, chapéus chineses, etc.
• Generalização: Regra da casca esférica — V_casca = (4/3)π(R³ − r³). Volume cresce com R³, então a casca fina tem volume ≈ 4πR²·espessura (aproximação para casca fina).
• Dica de eliminação: D (4000π/3) é a "pegadinha do volume sem subtrair". A (76π/3) e B (304π/9) são valores pequenos demais. Entre C e E, só C tem coerência numérica.
• Conexões: ovos de Páscoa, estrutura da Terra (núcleo + manto + crosta), volume de balões e bolas de futebol, densidade, ρ = m/V.