Questão 155 — ENEM 2023 PPL
Uma pessoa tinha um projeto para um salão de festas no formato de paralelepípedo reto retângulo. Ela comprou a quantidade exata de azulejos para cobrir as paredes laterais, incluindo as regiões destinadas a uma porta e uma janela. Os azulejos que cobririam essas regiões seriam reservados para futuras substituições. Esse projeto previa que o salão teria, como dimensões internas, 10 m de comprimento por 6 m de largura por 2,5 m de altura.
Em decorrência de uma mudança no projeto, o salão ficará com 12 m de comprimento por 5 m de largura e as mesmas dimensões para porta e janela. Como a compra de azulejos já foi feita, essa pessoa ajustará a altura do salão de modo que a área lateral, incluindo as regiões da porta e da janela, seja equivalente à área lateral antes da alteração do projeto.
Qual é a medida, em metro, dessa nova altura, expressa com duas casas decimais?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Geometria espacial (área lateral de paralelepípedo) + Equação linear + Manipulação algébrica.
- Nível: Médio — exige calcular a área lateral do projeto original, igualar à do novo projeto e resolver para a altura.
- Tema/Habilidade BNCC: geometria e suas aplicações em reformas/construções.
- Gabarito: D — 2,35 m.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Projeto original: salão 10 × 6 × 2,5 m. Novo projeto: 12 × 5 × h, mantendo a mesma área lateral total (igual ao número de azulejos comprados). Qual é h?"
- Palavras-chave decisivas: dimensões 10 × 6 × 2,5 m, novo: 12 × 5 × h, mesma área lateral, inclui porta e janela.
- Armadilha típica: calcular área total (com teto/piso) em vez de apenas lateral; ou subtrair porta/janela (enunciado explicita que elas são incluídas).
- Critério de acerto: área lateral de paralelepípedo = perímetro da base × altura. Igualar original e novo.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Paralelepípedo com base retangular a × b e altura h: área lateral = 2·(a + b)·h = perímetro da base × h.
- Porta e janela: o enunciado diz que são incluídas na área lateral calculada (os azulejos dessas regiões ficam como reserva). Então não precisa subtrair.
- Equação:
- Área original: 2·(10 + 6)·2,5 = 2·16·2,5 = 80 m².
- Área nova: 2·(12 + 5)·h = 34·h.
- Igualando: 34·h = 80 → h = 80/34 ≈ 2,353 m ≈ 2,35 m (2 casas).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: dimensões antigas (10, 6, 2,5) e novas (12, 5, h).
- Evidência 2: "porta e janela" com mesmas dimensões → se cancelam na equação.
- Evidência 3: "área lateral equivalente" → igualar as duas.
- Síntese: 2(10+6)·2,5 = 2(12+5)·h → h = 80/34 ≈ 2,35.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Área lateral do projeto original
$$
A_1 = 2 \cdot (10 + 6) \cdot 2{,}5 = 2 \cdot 16 \cdot 2{,}5 = 80\,\text{m}^2
$$
Subpasso 4.2 — Área lateral do projeto novo
$$
A_2 = 2 \cdot (12 + 5) \cdot h = 34 \cdot h
$$
Subpasso 4.3 — Igualar e resolver para h
$$
34 h = 80 \Rightarrow h = \frac{80}{34} = \frac{40}{17} \approx 2{,}3529\,\text{m}
$$
Subpasso 4.4 — Arredondar para duas casas decimais
$$
h \approx 2{,}35\,\text{m}
$$
Subpasso 4.5 — Verificação
- 34 · 2,35 = 79,9 ≈ 80 ✓ (pequeno arredondamento).
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 3,25.
❌ Incorreta. Altura maior que a original; aumentaria a área lateral, não manteria.
B) 3,00.
❌ Incorreta. Similar — muito alto.
C) 2,50.
❌ Incorreta. Mesma altura original; mas novo perímetro (34) é maior que o antigo (32), então área aumenta.
D) 2,35. ✅ Correta.
h = 80/34 ≈ 2,35 m — altura ligeiramente menor que a original, porque o novo perímetro é maior.
E) 2,00.
❌ Incorreta. Muito baixa — área seria 34·2 = 68 < 80.
🏆 Gabarito: D — 2,35 m.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: área lateral = perímetro da base × altura. Mudando dimensões da base, ajuste h para manter a mesma área.
- Padrão de cobrança ENEM: geometria espacial em contextos de construção/reforma é frequente. Perímetro × altura é a relação-chave para áreas laterais.
- Generalização: Regra do paralelepípedo —
- Volume: V = a·b·c.
- Área total: 2(ab + bc + ac).
- Área lateral: 2(a+b)·h.
- Dica de eliminação: novo perímetro 34 > antigo 32, logo h precisa diminuir ligeiramente (de 2,5 para algo < 2,5). Só D (2,35) está abaixo de 2,5 e não é muito menor.
- Conexões: volume, áreas, prisma retangular, construção civil, cálculo de materiais.