Questão 147 — ENEM 2023 PPL
Segundo regras da Fifa, em um campo de futebol, a área penal é a região limitada pelo retângulo ABCD, indicado na figura, cujo lado AB mede, aproximadamente, 16 m. O ponto penal P, equidistante dos lados AB e CD, fica localizado a 11 m do lado AD. O arco de circunferência, exterior à região penal, tem centro em P, e o raio mede, aproximadamente, 9 m.
De acordo com as medidas especificadas no texto e na figura, a distância EF entre as extremidades do arco de círculo é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Geometria plana (circunferência, corda) + Teorema de Pitágoras + Aplicação em contexto real.
- Nível: Médio — exige visualizar o arco centrado em P que atravessa uma linha da grande área e calcular a corda EF pelo teorema de Pitágoras.
- Tema/Habilidade BNCC: geometria em contextos práticos.
- Gabarito: C — entre 14 e 19 m.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "No arco do pênalti (raio 9 m, centro em P que está a 11 m da linha AD), quando ele cruza a linha BC (linha da grande área oposta à linha de gol AD), qual é o comprimento da corda EF?"
- Palavras-chave decisivas: AB = 16 m (comprimento do lado maior da área penal = 16 m perpendicular à linha de gol), P equidistante de AB e CD (no centro lateral), P a 11 m de AD (linha de gol), raio 9 m.
- Armadilha típica: calcular diâmetro (2·9 = 18 m) diretamente, ignorando que E e F não são diametralmente opostos. A corda EF é menor que o diâmetro.
- Critério de acerto: aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo formado por P (centro), um ponto E sobre a linha BC, e a projeção de P na linha. A distância perpendicular de P à linha BC é (16 − 11) = 5 m; a corda vale 2·√(r² − d²).
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Grande área (área penal) no campo de futebol: retângulo formado por ABCD, com:
- AD e BC: linhas paralelas à linha de gol, distância entre elas = AB = 16 m.
- AB e CD: lados paralelos longos (no problema, perpendiculares à linha de gol).
- Ponto penal (P): a 11 m da linha de gol (AD), centrado lateralmente.
- Arco do pênalti: semicírculo de raio 9 m ao redor de P, localizado fora da grande área.
- Geometria: corda de uma circunferência a uma distância d do centro:
- Se d < r: corda = 2·√(r² − d²).
- Se d = r: corda degenera em ponto (tangente).
- Se d > r: não há interseção.
- Aplicação:
- r = 9 m.
- d = distância de P à linha BC = 16 − 11 = 5 m.
- Corda = 2·√(9² − 5²) = 2·√(81 − 25) = 2·√56 ≈ 2·7,48 ≈ 14,97 m.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "AB mede 16 m" + "P a 11 m de AD" → distância de P à linha BC = 16 − 11 = 5 m.
- Evidência 2: "arco exterior à região penal" → o arco cruza a linha BC (do lado oposto à linha de gol).
- Evidência 3: raio r = 9 m > d = 5 m → o arco de fato intercepta BC.
- Síntese: calcular corda = 2·√(r² − d²) = 2·√56 ≈ 15 m. Pertence ao intervalo (14, 19).
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Determinar a distância do centro P à linha BC
- AB = 16 m (perpendicular à linha de gol, distância entre AD e BC).
- P está a 11 m de AD.
- Distância de P a BC = 16 − 11 = 5 m.
Subpasso 4.2 — Aplicar Pitágoras para o meio da corda
- Seja M o pé da perpendicular de P à linha BC. Então PM = 5 m.
- Sejam E e F os pontos onde o arco cruza a linha BC. PE = PF = r = 9 m (raio).
- No triângulo retângulo PME:
$$
EM = \sqrt{r^2 - PM^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56}
$$
- EM = √56 ≈ 7,48 m.
Subpasso 4.3 — Corda total EF
$$
EF = 2 \cdot EM = 2 \cdot \sqrt{56} \approx 2 \cdot 7{,}48 \approx 14{,}97\,\text{m}
$$
Subpasso 4.4 — Verificação com o intervalo
- 14,97 m está entre 14 m e 19 m → intervalo C.
Subpasso 4.5 — Valor real no futebol
- Na realidade, AB = 16,5 m e raio = 9,15 m; distância P a BC = 16,5 − 11 = 5,5 m.
- Corda real = 2·√(9,15² − 5,5²) = 2·√(83,72 − 30,25) = 2·√53,47 ≈ 2·7,31 ≈ 14,63 m.
- Corresponde bem ao que o exercício aproxima (≈ 15 m).
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) inferior a 7 m.
❌ Incorreta. Seria o caso se PM ≈ 9 m (arco tangenciando BC). Não é a situação.
B) superior a 7 m e inferior a 14 m.
❌ Incorreta. Cálculo exato dá ≈ 14,97 m, apenas ligeiramente acima de 14 → fora deste intervalo por margem.
C) superior a 14 m e inferior a 19 m. ✅ Correta.
Corda = 2·√56 ≈ 14,97 m, dentro do intervalo (14, 19).
D) superior a 19 m e inferior a 23 m.
❌ Incorreta. Acima do diâmetro (2·9 = 18 m), o que é impossível para corda.
E) superior a 23 m.
❌ Incorreta. Totalmente fora do possível (corda ≤ diâmetro = 18 m).
🏆 Gabarito: C — EF ≈ 15 m (entre 14 e 19 m).
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: corda = 2·√(r² − d²), com d = distância do centro à linha. No arco do pênalti, d = 5 m, r = 9 m → EF ≈ 15 m.
- Padrão de cobrança ENEM: geometria aplicada a contextos esportivos (campos, quadras, pistas) é recorrente. Teorema de Pitágoras é a ferramenta-chave.
- Generalização: Regra da corda — para uma circunferência de raio r, se o centro está a distância d < r de uma reta, a reta corta a circunferência em uma corda de comprimento 2·√(r² − d²).
- Dica de eliminação: a corda é sempre ≤ diâmetro = 2r = 18 m. Opções D (> 19) e E (> 23) são impossíveis geometricamente.
- Conexões: teorema das cordas, potência de ponto, volume de calota esférica, trigonometria em arcos.