Questão 145 — ENEM 2023 PPL
Os candidatos A, B e C participaram de um concurso composto por uma prova de Matemática, uma de Português e outra de Geografia, sendo os pesos dessas três provas diferentes. As notas obtidas por esses três candidatos e os pesos atribuídos a essas provas estão representados nas tabelas:
As notas finais são obtidas somando-se os produtos das notas pelos respectivos pesos. As notas finais dos três candidatos podem ser obtidas multiplicando-se a matriz das notas dos três candidatos nas três provas pela matriz dos pesos das três provas.
A matriz das notas finais dos três candidatos é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Álgebra linear básica (multiplicação de matrizes) + Dimensões compatíveis + Interpretação: média ponderada como produto matriz × vetor.
- Nível: Médio — exige saber multiplicar matriz 3×3 (notas) por matriz coluna 3×1 (pesos) e identificar a matriz resultado 3×1.
- Tema/Habilidade BNCC: álgebra e suas aplicações em situações práticas.
- Gabarito: B — (46; 46; 43)ᵀ.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Dadas as notas (matriz 3×3) dos 3 candidatos em 3 provas, e os pesos (matriz coluna 3×1), qual é a matriz das notas finais?"
- Palavras-chave decisivas: notas finais = soma de produtos das notas pelos pesos, matriz notas × matriz pesos.
- Armadilha típica: multiplicar matrizes com dimensões trocadas (pesos × notas em vez de notas × pesos) ou calcular produtos elemento-a-elemento (produto de Hadamard) em vez de produto matricial.
- Critério de acerto: entender que a matriz resultado tem dimensão 3×1 (número de candidatos × 1) e cada elemento é o produto escalar da linha (notas do candidato) pela coluna (pesos).
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Multiplicação de matrizes A (m×n) · B (n×p) = C (m×p):
- Dimensões internas devem ser iguais (n).
- Aqui: A (3×3) · B (3×1) = C (3×1).
- Produto escalar na multiplicação:
- Elemento c_ij = ∑_k (a_ik · b_kj).
- Quando B é coluna, cada linha de A é multiplicada elemento a elemento pelos elementos da coluna e somada.
- Tabela de notas:
| Candidato | Matemática | Português | Geografia |
|---|---|---|---|
| A | 9 | 6 | 7 |
| B | 8 | 7 | 8 |
| C | 9 | 5 | 6 |
- Pesos: Matemática 3, Português 2, Geografia 1.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "notas finais obtidas somando-se os produtos das notas pelos respectivos pesos" → média ponderada (sem dividir pela soma dos pesos).
- Evidência 2: "multiplicando-se a matriz das notas dos três candidatos nas três provas pela matriz dos pesos" → operação A·b (3×3 · 3×1 = 3×1).
- Síntese: calcular 3 produtos escalares.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Candidato A
$$
\text{Nota}_A = 9 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + 7 \cdot 1 = 27 + 12 + 7 = 46
$$
Subpasso 4.2 — Candidato B
$$
\text{Nota}_B = 8 \cdot 3 + 7 \cdot 2 + 8 \cdot 1 = 24 + 14 + 8 = 46
$$
Subpasso 4.3 — Candidato C
$$
\text{Nota}_C = 9 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 27 + 10 + 6 = 43
$$
Subpasso 4.4 — Matriz resultado
$$
\begin{pmatrix} 46 \\ 46 \\ 43 \end{pmatrix}
$$
- Dimensão 3×1 (coluna), coerente com o produto A(3×3) · b(3×1).
Subpasso 4.5 — Verificação
- A e B empatam em 46 (interessante, embora tenham notas distintas).
- C tem 43, menor.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) (52 37 43).
❌ Incorreta. Formato linha (1×3 em vez de 3×1) e valores errados; provavelmente soma direta das notas (sem pesos) ou produto na ordem inversa.
B) (46; 46; 43)ᵀ (matriz coluna 3×1). ✅ Correta.
Produto A(3×3) · b(3×1) = c(3×1), com valores 46, 46, 43.
C) (66; 46; 20)ᵀ.
❌ Incorreta. Valores inconsistentes com o produto correto.
D) Matriz 3×3 (27 12 7 / 24 14 8 / 27 10 6).
❌ Incorreta. É o produto de Hadamard (elemento a elemento) entre a matriz de notas e uma matriz com os pesos replicados em cada linha; não é multiplicação matricial.
E) Matriz 3×3 (27 18 21 / 16 14 16 / 9 5 6).
❌ Incorreta. Variação de erro similar ao D.
🏆 Gabarito: B — (46; 46; 43)ᵀ.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: cada elemento da matriz final é o produto escalar das notas do candidato com os pesos.
- Padrão de cobrança ENEM: matrizes com aplicação em médias ponderadas, transformações geométricas e sistemas lineares são cobradas.
- Generalização: Regra das dimensões — produto A(m×n) · B(n×p) = C(m×p). Quando B é coluna (n×1), C é coluna (m×1), com cada elemento sendo produto escalar linha × coluna.
- Dica de eliminação: resultado tem que ser 3×1 (coluna). Eliminar alternativas com matriz 3×3 (D, E) e linha 1×3 (A). Sobram B e C — só B tem aritmética correta.
- Conexões: transformações lineares, sistemas lineares Ax = b, grafos e matriz de adjacência, PageRank, redes neurais (camadas como produtos matriciais).