Questão 142 — ENEM 2023 PPL
Na modelagem e no estudo de fenômenos periódicos, em geral, os modelos associados fazem uso de funções trigonométricas. Nesse sentido, considere um experimento, realizado em laboratório, em que uma planta foi colocada em uma estufa, onde a temperatura é controlável. O experimento consiste em observar alterações nas características dessa planta ao ser submetida a variações de temperatura. Durante 24 horas, a temperatura T(x) da estufa variou de acordo com a função T(x) = 20 − 10·sen(π·x/4), em que x é medido em hora, variando no intervalo 0 ≤ x ≤ 24.
Durante esse experimento, quantas vezes a temperatura na estufa atingiu o seu valor mínimo?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Funções trigonométricas (seno) + Período e máximo/mínimo + Contagem de raízes em intervalo.
- Nível: Médio — exige identificar o período da função T(x) = 20 − 10·sen(πx/4) e contar quantas vezes o valor mínimo (T = 10) é atingido em [0, 24].
- Tema/Habilidade BNCC: modelagem de fenômenos periódicos.
- Gabarito: B — 3 vezes.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Para T(x) = 20 − 10·sen(πx/4), quantas vezes T atinge seu valor mínimo no intervalo 0 ≤ x ≤ 24?"
- Palavras-chave decisivas: função T(x) = 20 − 10·sen(πx/4), 24 horas, valor mínimo.
- Armadilha típica: confundir período com frequência ou considerar o máximo (T = 30 quando sen = −1). Valor mínimo de T = 10 ocorre quando sen(πx/4) = +1.
- Critério de acerto: identificar que sen(θ) = 1 ⇔ θ = π/2 + 2πk; resolver πx/4 = π/2 + 2πk para x em [0, 24].
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Função do tipo T(x) = a − b·sen(kx):
- Valor máximo: a + b (quando sen = −1).
- Valor mínimo: a − b (quando sen = +1).
- No caso: T_min = 20 − 10 = 10; T_max = 20 + 10 = 30.
- Período da função seno com argumento kx: P = 2π/k. Aqui k = π/4 → P = 2π / (π/4) = 8 horas.
- Mínimos de T: ocorrem quando sen(πx/4) = 1, ou seja, πx/4 = π/2 + 2πn → x = 2 + 8n, para n inteiro.
- No intervalo [0, 24], valores de x:
- n = 0: x = 2.
- n = 1: x = 10.
- n = 2: x = 18.
- n = 3: x = 26 (fora do intervalo).
- Total: 3 vezes.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: T(x) = 20 − 10·sen(πx/4), 0 ≤ x ≤ 24.
- Evidência 2: valor mínimo quando sen(πx/4) é máximo (=1).
- Síntese: contar x em [0, 24] que satisfazem πx/4 = π/2 + 2πn.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar o período
- P = 2π / (π/4) = 2π · 4/π = 8 horas.
Subpasso 4.2 — Identificar o mínimo de T
- T mínimo quando sen(πx/4) = +1 (maior valor do seno).
- T_min = 20 − 10·1 = 10.
Subpasso 4.3 — Resolver sen(πx/4) = 1
$$
\frac{\pi x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
$$
\frac{x}{4} = \frac{1}{2} + 2n
$$
$$
x = 2 + 8n
$$
Subpasso 4.4 — Selecionar as soluções em [0, 24]
| n | x = 2 + 8n | Está em [0, 24]? |
|---|---|---|
| −1 | −6 | ✗ |
| 0 | 2 | ✓ |
| 1 | 10 | ✓ |
| 2 | 18 | ✓ |
| 3 | 26 | ✗ |
- Total: 3 mínimos (em x = 2, 10, 18 horas).
Subpasso 4.5 — Visualização
- Em 24 horas temos 24/8 = 3 períodos completos → 3 mínimos (e 3 máximos) ao longo do experimento.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 1.
❌ Incorreta. Um único mínimo indicaria meio período em 24 h, mas o período é 8 h.
B) 3. ✅ Correta.
Três mínimos em x = 2, 10, 18 — um por período completo (8 h).
C) 4.
❌ Incorreta. Estaria correto se o período fosse 6 h ou se contássemos extremos. Não bate.
D) 5.
❌ Incorreta. Valor inflado.
E) 7.
❌ Incorreta. Valor totalmente inconsistente com o período.
🏆 Gabarito: B — 3 vezes.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: período = 8 h; em 24 h cabem 3 períodos, logo 3 mínimos.
- Padrão de cobrança ENEM: funções periódicas (trigonométricas) em contextos físicos/biológicos (temperatura, marés, batimentos cardíacos) são recorrentes.
- Generalização: Regra do período — número de repetições em intervalo Δt = Δt / P.
- Dica de eliminação: calcular o período (8 h) e dividir 24 / 8 = 3.
- Conexões: movimento harmônico simples, batimentos cardíacos, marés, variação diurna de temperatura, função cosseno, sinais senoidais em telecomunicações.