Questão 141 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Probabilidade + Evento complementar (P(A) = 1 − P(Aᶜ)) + Exponencial/potenciação + Inequação.
• Nível: Médio — exige usar a técnica clássica do complementar (para "pelo menos uma", calcula-se 1 − P(nenhuma)).
• Tema/Habilidade BNCC: modelos probabilísticos em situações de confiabilidade.
• Gabarito: A — 2 duchas.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas duchas (p(defeito) = 1/10 cada, independentes) são necessárias para que P(pelo menos uma regular) ≥ 99/100?"
• Palavras-chave decisivas: probabilidade de funcionamento irregular = 1/10, pelo menos uma regular, mínimo 99/100.
• Armadilha típica: calcular binomial ou usar cálculos envolvidos quando basta o complementar: P(pelo menos uma regular) = 1 − P(todas irregulares).
• Critério de acerto: montar a inequação 1 − (1/10)^n ≥ 99/100 e resolver para n.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Evento complementar: para "pelo menos uma [propriedade X]", é mais fácil calcular o complementar: P("pelo menos uma X") = 1 − P("nenhuma X").
• Eventos independentes: probabilidade de "todas as n duchas irregulares" = (p_irregular)^n = (1/10)^n.
• Inequação:

$$

1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n \geq \frac{99}{100}

$$

• Equivalente a: (1/10)^n ≤ 1/100 = 10⁻².
• Como (1/10)^n = 10⁻ⁿ, temos 10⁻ⁿ ≤ 10⁻² → n ≥ 2.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "probabilidade 1/10 de irregular" → cada ducha tem p_def = 0,1.
• Evidência 2: "pelo menos uma regular" → evento complementar = "todas irregulares".
• Evidência 3: "P ≥ 99/100" → limiar de aceitação.
• Síntese: (1/10)^n ≤ 1/100 → n ≥ 2.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Definir o evento e seu complementar

• Evento A: "pelo menos uma das n duchas é regular".
• Complementar Aᶜ: "todas as n duchas são irregulares".
• P(A) = 1 − P(Aᶜ).

Subpasso 4.2 — Calcular P(Aᶜ)

• Eventos independentes: P(todas irregulares) = (1/10)^n.

Subpasso 4.3 — Montar a inequação

$$

1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n \geq \frac{99}{100}

$$

$$

\Leftrightarrow \left(\frac{1}{10}\right)^n \leq \frac{1}{100} = 10^{-2}

$$

$$

\Leftrightarrow 10^{-n} \leq 10^{-2}

$$

Subpasso 4.4 — Resolver

• 10^{-n} ≤ 10^{-2} ⇔ −n ≤ −2 ⇔ n ≥ 2.
• Mínimo n = 2.

Subpasso 4.5 — Verificação

• Com n = 2: P(ambas irregulares) = (1/10)² = 1/100 = 0,01.
• P(pelo menos uma regular) = 1 − 0,01 = 0,99 = 99/100. ✓ Atende exatamente o limite.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2. ✅ Correta.

Com n = 2, P(pelo menos uma regular) = 1 − (1/10)² = 0,99 = 99/100 (exatamente). Qualquer n < 2 não atinge 99/100.

B) 8.

❌ Incorreta — valor exagerado. n = 8 daria P = 1 − 10⁻⁸ ≈ 0,99999999, muito além do necessário.

C) 9.

❌ Incorreta. Idem.

D) 10.

❌ Incorreta. Idem; valor absurdamente maior que o mínimo.

E) 11.

❌ Incorreta. Idem.

🏆 Gabarito: A — 2 duchas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: "pelo menos uma" → complementar → P ≥ 99/100 ⇒ (1/10)^n ≤ 1/100 ⇒ n ≥ 2.
• Padrão de cobrança ENEM: probabilidade com eventos independentes + complementar aparece em questões de confiabilidade (circuitos, componentes redundantes, tentativas repetidas).
• Generalização: Regra do complementar — "pelo menos um A" = 1 − "nenhum A". Em eventos independentes, "nenhum A" = (P(Aᶜ))^n.
• Dica de eliminação: com p_falha = 1/10 e limite 1/100, precisa-se apenas reduzir a probabilidade em 1 ordem de grandeza → n = 2 basta.
• Conexões: confiabilidade de sistemas, redundância em engenharia, distribuição geométrica, variáveis aleatórias binomiais.