Questão 140 — ENEM 2023 PPL
O síndico de um condomínio contratou uma empresa para verificar a qualidade da água dos cinco reservatórios que alimentam esses edifícios. A empresa utiliza um teste que fornece o valor de um parâmetro, expresso em pontos que variam de 0 a 100, que indicam a qualidade da água, sendo o valor 0 associado à péssima qualidade e 100 associado à ótima qualidade da água. Quando esse parâmetro assume um valor a partir de 50 pontos, a água é considerada de qualidade adequada.
Para os reservatórios I, II, III e IV, esse parâmetro assumiu, respectivamente, os valores 64, 53, 63 e 64 nesse tipo de teste. Já no reservatório V, esse parâmetro foi de 20 pontos, reprovando a qualidade da água. Com isso, a água desse reservatório será tratada de modo a aumentar sua qualidade.
O síndico pretende que o parâmetro de qualidade da água do reservatório V aumente o suficiente para que a média dos parâmetros de qualidade da água dos cinco reservatórios seja, no mínimo, igual a 60 pontos.
A quantidade mínima de pontos que o parâmetro da qualidade da água do reservatório V deve aumentar é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática → Média aritmética + Manipulação algébrica + Raciocínio com mínimo necessário.
- Nível: Fácil — aplicar a fórmula da média (soma / quantidade) e inverter para achar a mínima contribuição necessária de um elemento.
- Tema/Habilidade BNCC: medidas de tendência central.
- Gabarito: A — 36 pontos.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Dados os parâmetros 64, 53, 63, 64 (reservatórios I-IV) e 20 (V), qual o aumento mínimo em V para que a média dos 5 seja ≥ 60?"
- Palavras-chave decisivas: valores 64, 53, 63, 64, 20, média mínima 60, quanto V deve aumentar.
- Armadilha típica: calcular a média atual (52,8) e confundir com "quanto falta" sem dividir corretamente pela quantidade, ou achar que a média mínima é por reservatório individual (60 para V).
- Critério de acerto: soma total deve ser pelo menos 5·60 = 300; soma atual é 64+53+63+64+20 = 264; V precisa aumentar 300 − 264 = 36.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Média aritmética: μ = (Σx_i) / n, onde n é a quantidade de valores.
- Para que μ ≥ valor-alvo: Σx_i ≥ n · valor-alvo. Aqui, Σ ≥ 5·60 = 300.
- Soma atual: S = 64 + 53 + 63 + 64 + 20 = 264.
- Aumento necessário em V: ΔV = 300 − 264 = 36.
- Novo valor de V: 20 + 36 = 56 (ainda passa do limiar de 50 para ser "adequado", coerente).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: cinco reservatórios → n = 5.
- Evidência 2: meta μ ≥ 60 → Σ ≥ 300.
- Evidência 3: ajuste é só no V, não nos outros.
- Síntese: subir V apenas o suficiente para levar a soma a 300.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Soma dos 5 valores atuais
$$
S_{\text{atual}} = 64 + 53 + 63 + 64 + 20 = 264
$$
Subpasso 4.2 — Soma mínima necessária para média = 60
$$
S_{\text{necessária}} = 5 \cdot 60 = 300
$$
Subpasso 4.3 — Aumento em V
$$
\Delta V = S_{\text{necessária}} - S_{\text{atual}} = 300 - 264 = 36
$$
Subpasso 4.4 — Verificação
- Novo V = 20 + 36 = 56.
- Nova soma: 64 + 53 + 63 + 64 + 56 = 300. ✓
- Nova média: 300/5 = 60. ✓
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 36. ✅ Correta.
Cálculo direto: soma atual 264, necessária 300, diferença 36. É exatamente o aumento mínimo.
B) 40.
❌ Incorreta. Valor levaria V = 60, média = 304/5 = 60,8. Acima do mínimo, mas não é o mínimo.
C) 41.
❌ Incorreta. Mesmo raciocínio — excessivo.
D) 43.
❌ Incorreta. Idem, não é o mínimo.
E) 44.
❌ Incorreta. Idem.
🏆 Gabarito: A — 36 pontos.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: média mínima 60 ⇒ soma mínima 300 ⇒ V deve aumentar 36.
- Padrão de cobrança ENEM: média com "mínimo necessário" em contexto de notas, parâmetros técnicos, controle de qualidade é recorrente.
- Generalização: Regra da média condicional — para que μ ≥ valor-alvo, a soma deve ser n·valor-alvo. Aumento em um elemento = diferença entre soma exigida e soma atual.
- Dica de eliminação: o mínimo é a diferença exata entre somas. Alternativas maiores (40, 41, 43, 44) também atendem a condição, mas não são mínimas.
- Conexões: média ponderada, variância, desvio-padrão, análise descritiva, controle estatístico de qualidade.